2017年杭州电子科技大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为
则
与的联合分布为
所以，
即成功概率p 的后验分布为分布族.
2． 证明
：
【答案】不妨设另一方面，还有
综合上述两方面，可得
3． 任意两事件之并
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
则
故成功概率p 的共轭先验分布族为贝塔
（1）试用类似方法表示三个事件之并
（2）利用（1）的结果证明
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
4． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明
：
【答案】由又因为所以得
进一步由
是样本, 证明
则
由
因而
所以
，则这说明
即
证明:X 与不相关. 为证明X
7． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=
不相关但不独立. 【答案】因为
所以
得
5． 设总体二阶矩存在,
与的相关系数为
【答案】不妨设总体的方差为
由于,
6 设T 是g ，（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若．
【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE
，即
且
的无偏估计，故其差
由判断准则知
是0的无偏估计，
这表明:X 与
与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得
现考查如下特定事件的概率
所以X 与
8． 设随机变量
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
不独立.
,
, 且X 与Y 相互独立, 令
所以
因为X 与Y 相互独立, 所
以
（2）由（1）知, （3）由（2）
知
由此得
二、计算题
9． 保险公司的某险种规定：如果某个事件A 在一年内发生了，则保险公司应付给投保户金额a 元，而事件A 在一年内发生的概率为p. 如果保险公司向投保户收取的保费为ka ，则问k 为多少，才能使保险公司期望收益达到a 的10%?
【答案】记X 为保险公司的收益，则X 的分布列为
表
1
所以保险公司的期望收益
为
中解得
所以取
即可满足要求.
表
2
由即
从
注意：这里k 是p 的严格増函数，具体有