2017年河南大学黄河文明与可持续发展研究中心601高等数学考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 与直线L 1：（ ）。
A.x+y+z=0 B.x-y+z=0 C.x+y-z=0 D.x-y+z+2=0 【答案】B
【解析】解法一：设L 1的方向向量为s 1，L 2的方向向量为s 2，平面Ⅱ的法向量为n ，则n ⊥s 1，n ⊥s 2，所以
又因平面Ⅱ过原点，则方程为x-y+z=0.
解法二：过定点O （0, 0, 0）与L 1的方向向量s 1=（0, 1, 1）及L 2的方向向量s 2=（1, 2, 1）平行的平面Ⅱ的方程是
2． 下列命题
①若②若③若④设
确的是（ ）。
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
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即直线L 2：都平行，且过原点的平面π的方程是
，即
，则发散
收敛。 ，则
并存在极限
收敛。 ，若
收敛，则
中正
收敛，则
【解析】解法一：命题②，添加了括号后的级数
收敛，推不出原级数收敛，例
如
收敛。
命题③，
对于正项级数比值判别法失效，如
解法二：命题①，
，
不能保证
，但
自然数N ，当
时
，
可能有发散。
，这表明n>N时a n 同号，
发散。
，此时发散，
但
不妨设a n >0，这正是正项级数比值判别法的极限形式，由
命题④，同样由比较原理的极限形式，因极限收敛，得
3． 函数
C.117 D.107 【答案】B 【解析】
函数
， 在点（0，1，l ）处梯度向量的模 4．
设平面域
D
由
，
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，若，则发散，因而由
，即。
在点（0，1，1）处方向导数的最大值为（ ）。
在点（0，1，1，
）处方向导数的最大值等于
。
的两条坐标轴围成
，
则（ ）。
【解析】显然在D
，则
从而有 5． 通过直线
和直线
的平面方程为（ ）。
【答案】A
【解析】由已知的两直线方程可知，所求的平面必须经过点（-1, 2, 3）和点（3, -1, 1）（令t=0，即可求的这两点）。又由于点（-1, 2, 3）不在B 项平面C 项
6．
设
是圆周
【答案】C
【解析】考察斯托克斯公式的应用，其中为平面
所
以
，S 是平面
上侧法线向量的方向余弦。 ，则原
式
上以原点为圆心、R 为半径的圆的面积）
。（其
中
，
，从Ox 轴正向看
，
为逆时针方向，
则曲线积分
和D 项
上，可排除B ；又（3, -1, 1）不在
两个平面上，故可以排除C 、D 。
二、填空题
7． 直线L ：
【答案】【解析】设有
又因
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，绕直线L 1：
旋转一圈所产生的曲线方程是_____。
是1上的一点，当L 绕L 1旋转时，M 0旋转到
此时