2018年成都信息工程大学应用数学学院811数学分析之高等数学考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 试作适当变换, 计算下列积分:
（1）（2）
【答案】 （1）令于是
（2）令于是
2． 应用凸函数概念证明如下不等式:
（1）对任意实数a , b, 有（2）对任何非负实数a , b , 有【答案】（1）令定义中的（2）
. 因, 则有
,
恒成立, 故是
. , 当
时
,
, 从而
即
3． 设a 【答案】方法一:由配方得到 * 第 2 页，共 32 页 , 则 则 . 上的凸函数, 是上 的凹函数. 故由定义可知, 对任意非负实数a , b, 有 . 其中原式 . 作变量代换, 则有 方法二:因为被积函数的定义域为（a , b ）, 所以可设 又注意到 故有 4． 讨论级数 的敛散性. . 从而 【答案】用柯西收敛准则. 取显 然 , , 让自然数k 适当大, 取 , 考 察 , 因此 . 注意到, 当 时, 有 第 3 页，共 32 页 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 这里用到了 5． 试求不定积分 进而求出不定积分 【答案】 其中 为任意常数. 可得 可得 6． 设是开集. 【答案】（1）任取可微, 连续; （2）对于 时, . 则由定理可知 使开集 由于 所以y 0 为内点, 故f （D ）为开集. , 则 使 , 因为 是开集f : 且满足, 在D 上 , 而且适合（1） f 在D 上可微, 且连续; （2）当时 则f （D ） ① ② 与 （当k 适当大时）. 由柯西收敛准则可知, 原级数发散. 第 4 页，共 32 页