2017年南京信息工程大学数学与统计学院802高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 将函数
【答案】作
是f （x ）的奇延拓，令
在z=2kπ（k ∈Z ）处间断，又在收敛于f （x ）。
故
2． 形状为椭球在探测器的点
处的温度
【答案】作拉格朗日函数
令
由式9-7得若
或
。
。再将
代入约束条件
是上
的周期延拓，则
因此
满足收敛定理的条件，而的傅里叶级数在
上
展开成正弦级数。
的空间探测器进入地球大气层，其表面开始受热，l 小时后
，求探测器表面最热的点.
，代入式（9-8），得（9-9）
得若
。于是得到两个可能的极值点：，由式（9-8）（9-9）（9-10）解得
；
于是得到另外三个可能
极值点为
比较T 在上述五个可能极值点处的数值知：热的点为
。
为最大，故探测器表面最
。
3． 甲船以6km/h的速率向东行驶，乙船以8 km/h的速率向南行驶。在中午十二点整，乙船位于甲船之北16 km处。问下午一点整两船相离的速率为多少?
【答案】设从中午十二点整起，经过t 小时，甲船与乙船的距离为
故速率
当t=1时（即下午一点整）两船相离的速率为
4． 设f （x ）的定义域是[0，l]，求下列函数的定义域:
（l ）f （e ）; （2）f （lnx ）; （3）f （arctanx ）; （4）f （cosx ）。 【答案】（l ）因为（2）因为（3）因为（4）因为
，所以，所以
，所以，所以
。
即函数f （ex ）的定义域为
，即函数
。
，即函数f （lnx ）的定义域为[l，e]。
的定义域为[0，tanl]。 ，即函数
的定义域为
x
5． 利用以下联合国统计办公室提供的世界人口数据以及指数模型来推测2010年的世界人口。
【答案】由表中第3列，猜想1986年后任一年的世界人口是前一年人口的1 .018倍. 于是，在1986年后的第t 年，世界人口将是
20 10年对应f=24，于是
即推测2010年的世界人口约为76亿。
6． 下列计算是否正确，试说明理由:
（1）
（百万）。
，
（2）因为（3）
【答案】（1）不对，因为
，所以
；
在[-1, 1]上有间断点x=0，不符合换元法的要求，积分一定为
正，因此该积分计算不对。事实上，
（2）不对，原因与（1）相同，事实上，
（3）不对，因为发散，也就得到
发散。
，当
时极限不存在，故
7． 求过点（3，0，﹣1）且与平面3x －7y ＋5z －12=0平行的平面方程.
【答案】所求平面与已知平面3x －7y ＋5z －12=0平行. 因此所求平面的法向量可取为n=（3，，设所求平面为 ﹣7，5）
3x －7y ＋5z ＋D=0 将点（3，0，﹣1）代入上式得D=﹣4. 故所求平面方程为