2017年江西农业大学农学院701数学之概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.
【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.
2． 设总体二阶矩存在, 是样本, 证明
【答案】不妨设总体的方差为
则
由
因而
所以
3． 证明下列事件的运算公式：
（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有
4． 设随机变量X 与V 相互独立, 且证:
相互独立, 且
【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为
试
所以
由于,
所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得
与的相关系数为
下求（U , V ）的联合密度函数, 因为可比行列式为
所以, 当
时, 有
可
见
5． 设连续随机变量
可分离变量, 故
独立同分布, 试证:
【答案】设诸而事件
从而该事件的概率为
若记诸
的分布函数为
则上式积分可化为
6． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明
：
【答案】
的反函数为, 且变换的雅
U 与V 相互独立, 其
中
的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为.
7． 设随机变量量.
【答案】
令
, 证明:当时, 随机变量
, 则由X 的特征函数
..
按分布收敛于标准正态变
可
得
, 两边取对数, 并将
展开为级数形式, 可得
所以
而
正是
的特征函数, 由特征函数的唯一性定理及判断弱
收敛的方法知结论成立.
8． 设是取自二维正态分布
的一个二维样本, 记
试求统计量【答案】容易看出
的分布.
仍服从正态分布. 且
所以另外,
类似于一维正态变量场合, 可证与相互独立。且
于是根据t 变量的构造可知
这就是我们要求的分布.
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