2017年江西财经大学信息管理学院837概率论考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自
的样本，α＞0已知，试证明，
是
于是
所以λ的费希尔信息量为
这就是说
的任一无偏估计的C-R 下界为
又
这就证明了
是
的有效估计，从而也是UMVUE.
2． 设总体X 的密度函数为：
为抽自此总体的简单随机样本.
（1）证明：【答案】（1）令
即
的分布与无关，并求出此分布.
的置信区间.
则
的分布与无关，其密度函数为
由于从而求得
3． 证明:若
在
上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为则对
有
并由此写出
与
其中
的置信区间为
（2）取c , d 使得
的密度函数为
（2）求的置信水平为
的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为
【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示
为
且u 与v 独立, 从而有
由于
将两者代回可知, 在
时, 若r 为奇数, 则
若r 为偶数, 则
证明完成. 进一步, 当r=l时
, 时,
4． 设
（此时要求
（此时要
求否则方差不存在）.
否则均值不存在）, 当r=2
是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，
（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是
的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为
由此可见（2）
是的无偏估计.
是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为
由此可见
（3）反证法，倘若
是p （1-p ）的一个无偏估计.
是1/p的无偏估计，则有
或者
上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在.
5． 设独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明：（2）计算
和
的均方误差并进行比较；
都是θ的无偏估计；
（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为
的估计中，故
最优.
这说明是则Y 的密
于是有
这表明
也是θ的无偏估计.
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
故有
又
从而
由于（3）对形如
因此在均方误差意义下，的估计有
优于
故
因此当估计中，最优.
6． 任意两事件之并
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，在形如
的
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得