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一、证明题

1． 设

证明:

为独立的随机变量序列, 且

服从大数定律.

所以由

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

2． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立. 3． 设计.

【答案】由于

这就证明了

，是的相合估计.

独立同分布，

，证明：

是的相合估

的独立性可得

【答案】因为

4． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为

试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数

所以由又因为

和

知X 与Y 不独立.

在对称区间上是偶函数, 故

从而

所以X 与Y 不相关.

5． [1]如果

试证: （1）（2）[2]如果

【答案】（1

）因为

时

即

（2）先证

明

成立, 进一步由

. 对任意

的

成立, 对取定的M , 存在N , 当

这时有

从而有

由即[2]若对任意的

的任意性知

成立.

是m 次多项式函数, 即

取M 充分大,

使有于是有

对取定的M ,

因为

是连续函数,

所以可以用多项式函数去逼近

, 使得

当

所以存在

因为

并且在任意有限区

时,

有使当

间上还可以是一致的, 因而存在m 次多项

式

对取定的m 次多项式

时, 有

又因为

是直线上的连续函数, 试证:

,

可得

所以又有

取M 足够大（譬

如

时, 有

成立. ）, 使

有

,

故当

有

同理可证由上面（1）得

则由题[1]知有

,

又选取

下证一般情况,

充分大,

使当

时,

有

当又因为

且

所以

从而有

由

6． 设

（1）（2）（3）

的任意性即知

, 结论得证.

时, 有

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

【答案】先求三个统计量的数学期望，

这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为

不难看出

由此可推测。当用样本的凸组合

则

从而的有效性最差.

估计总体均值时，样本均值是最有效的。