2018年广西师范大学数学与统计学院624数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为L x 和L y , D 的面积为为D 内任一点, 证
明
（1）
（2）
【答案】设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为[a, b]和[c, d].
因此并且
,
（1）
（2）
考虑
令
, 记
则 所以
由于
, 因此
. 所以
, 同理可证
, 得到
2． 设
在
上二次连续可微, 且
, 证明:
其中
【答案】由Taylor. 展开式知
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①
取
代入①得到
②
对②积分得到
从而有
3． 设曲线由极坐标方程
给出, 且二阶可导, 证明它在点
处的曲率为
【答案】取曲线的参数方程为. 则
4． 证明下列各式:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【答案】（1）于是
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由函数极限的局部有界性知,
在
内有界,
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（2）由于于是（3）由（
4）因为
由函数极限的局部有界性知,, 1
知
在内有界,
所以（5
）（6）设
则
于是
故
（7
）设
, 则
于是
故 5． 设
为
上的有界可测函数, 且
那么
证明:
在
上几乎处处为0.
即
于是, 在某个
内
有界, 故
【答案】（反证法）假设令
则必然存在某个
使得
这与题设矛盾, 所以原命题成立.
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