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一、证明题

1． 证明:若

【答案】（1）若因

为

（2）当且仅当证明如下:由于是

2． 证明函数

【答案】因为

（x ）

在[0, 1]上的不连续点是故可积.

因此, 存在现设

设

于是有, 使对

的任何分法, 只要

是, 又显然有

所以f （x ）在[0, 1]上可积.

3． 叙述（1）有限覆盖定理和（2）魏尔斯特拉斯（Weierstrass ）定理（致密性定理）, 并用（1）证明（2）.

【答案】⑴有限覆盖定理:

若

个开区间来覆盖[a, b].

（2） Weierstrass 定理（致密性定理）:有界数列必存在收敛子列. 反证法. 设数列则对任意的由此可知, 存在

在

不是

若

中无收敛子列,

中的有限项.

中任意一子列的极限.

中至多只含有

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当且仅当a 为何值时反之也成立? 则对任意

存在N , 使得n>N时,

当

时, 也

有

于

是

所以对于任

意

时, 由知, 对任意

如果

数列

可推出存在N , 当满足在[0, 1]上可积.

, 所以f （x ）在[0, 1]上有界, 且在[0, 1]

的任何部分区间上的振幅

. 任给

f x ）, 由于（在

就有

的满足1

的任意分割.

因此,

上只有有限个间断点,

.

此时, 命题变为:

时,

但数列

即是发散的.

为闭区间的一个（无限）开覆盖,

则在中必存在有限

于是得一满足上述条件的开区间族显然

为

的一个开覆盖, 由有限覆盖定理,

中存在有限个开区间

根据

的构造性质可知,

中也只含有

中的有限项, 从而[a, b]中也只含有

中的有限

项, 这与中, 4． 设函数项级数

矛盾, 所以结论得证.

, 函数g （x ）在D 上一致收敛于S （x ）在D 上有界, 证明级数

对任意

有

均有

因

在D 上一致收敛于S （x ）,

从而, 对任意

在D 上一致收敛于g （x ） S （X ）.

【答案】不妨设存在故对任意

存在N>0, 当n>N时, 对任意

所以

5． 设函数

（1）存在（2）存在

在D 上一致收敛于g （x ） S （x ）. 在闭区间

上无界, 证明: 使得使得对任意的

的无界性知, 存在. .

在使得满

足

存在收敛子列（不妨仍记为本身）, 记

上无界. 使得

所

以

.

【答案】（1）因为同样由,

如此继续, 可

得

在闭区间[a, b]上无界, 所以存在

（2）由致密性定理知, （1）中的数列

此时的c 就是满足要求的点.

6． 分别用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明:若f （x ）在[a, b]上有定义, 且在每一点极限都存在, 则f （x ）在[a, b]上有界.

【答案】（1）利用有限覆盖定理证明:由已知, 使得在

内有

, 即

以此构造闭区间[a, b]的一个开覆盖.

f x ）（2）利用致密性定理证明:反证法. 假设（在[a, b]上无界, 则对任意正整数n , 存在使得设

. 于是得到数列, 则

, 矛盾

, 由致密性定理,

中存在收敛子列

,

,

, 设

则

,

（3）利用区间套定理证明:反证法. 假设f （x ）在[a, b]上无界,

则利用二等分法构造区间套

, 使得f （x ）在每个区间

上无界. 由区间套定理, 存在唯一的

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然后讨论f （x ）在点f 邻域内的有界性, 推出矛盾.

7． 设f （x ）在[0, 1]上有一阶连续导数, 证明存在

, 使

【答案】令

在上式中取x=1, 即得

则F （x ）在[0, 1]上有二阶连续导数. 对F （x ）应用泰勒公式, 有

二、解答题

8． 设V 是R 中有界区域, 其体积为1/2, V 关于平面x=l对称, V 的边界是光滑闭曲面外向法矢与正x 轴的夹角, 求

【答案】由高斯公式

令

由于V 关于面x=l对称，则对应的V 关于面

而平移变换不改变立体的体积. 所以

9． 设

【答案】令

, 则

因为

所以

记

, 对固定的n , 在

上应用第一积分中值定理, 有

9

其中

, 通过计算可得

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是,

的

对称，且

从而 , 求