当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设S 为光滑闭曲面, V 为S 所围的区域, 函数u （x , y , z ）在V 上与S 上具有二阶连续偏导, 函数w （x , y , z ）偏导连续, 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由高斯公式:

令P=uw, 有

即

（2）由（1）式用

代替u 可得

类似地可以得出:

三式相加, 再由第一、二型曲面积分关系可得

2． 设f （x ）在[a, b]上二阶可导, 且

. 证明:

【答案】由已知条件可知, f （x ）是[a, b]上的严格凹函数. 设则必有

, 有

对上式两边在[a, b]上积分, 可得:

>0.由凹函数的性质, 对任意的

是f （x ）的最大值点,

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

由于

从而, 对任意的

, 有

, 则

二、解答题

3

． 求极限

【答案】记

它可看做

, 则

|在[0

, 1]上对应于n 等分割T

及介点

故

4． 设函数

求:

（1） （2

） 【答案】 （1）（2） 5． 求

.

.

的积分和, 于是

【答案】由分部积分可得

令

则

, 所以

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

故得

6． 设定义在

上的函数, 在任何闭区间

上有界. 定义

上的函数:

试讨论（1）

与的图像, 其中

表示从

到

期间

的下确界（有时是

在区

当

时

,

【答案】（1）如果把x 看作时间

, 那么

最小值）

. 间

时

,

则表示从

, 对一切

到

期间

内单调递减到最小值

-1, 并且

的上确界（有时是最大值）. 函数是它的最大值. 于是, 当总有

即

（2）同理可得

（1）与（2）的图像分别如图1和图2所示.

图1

图 2

7． 设