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一、证明题

1． f （x

）在

. 上有连续二阶导数，且

，令

证明：

收敛.

【答案】由题设，对n=1, 2，…，有

由

在

上有连续二阶导数，知. 于是，

利用比较判别法，由子 2． 已知

证明:

则

内严格单调递增.

因此

则

所以又

在

内严格单调递增.

此即

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sinnx :在上绝对可积，即存在M>0,

使得

收敛，则级数收敛.

此即

【答案】令所以又再令

在

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3． 设常数A , B , C 满足

,

且线性变换

变为方程证明:

.

其中u （x

, y）具有二阶连续偏导数. 为方程

的两个不同实根.

, 于是

同理

将其代入方程中整理得

由已知条件, 原方程变为

, 所以有

由

知, 一元二次方程

有两个不等的实根, 而由前两个方程知

.

, 它把函数f （x , 把方程

【答案】

由已知得关系式

为方程的两个根, 由第三个不等式知 4． 设f （x , y

, z ）有连续的偏导数, 作自变量变换:y , z）变成F （u , v , w）. 证明:

【答案】方法一对

t>0, 若将u , v

, w

都换为tu , tv , tw

, 则相应地x , y , z 也换成了 tx , ty , tz , 即

在上式两边关于t 求导得

令t=1可得

方法二由f （x , y , z ） =F（u , v , w ）, 利用一阶微分形式的不变性可得

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由变换式可知,

由此易知, 当du=u, dv=v, dw=w时, 有

反之也如此, 这表明结论成立.

5． 设f 与g 都在[a, b]上可积, 证明

在[a, b]上也都可积.

【答案】由f （x ）、g （x ）可积知. 上也可积. 又

且可积函数的和、差、数乘仍可积, 所以M （x ）, m （x ）在[a, b]上均可积.

6． 设f 为定义在区间U , b）内的任一函数, 记内一致收敛于f

【答案】因为

故对任意

从而

取

, 当n>N时, 对任意

, 均有

在（a , b ）内一致收敛于f

证明g 为连续函数.

, 则

上

时, . 对于任给的;

设

即当

, 存在,

由

,

使得当知g 由保不等式故g （x ）在

7． 设函数f 只有可去间断点, 定义

【答案】设g 的定义域为D ,

时

,

（x ）的值由f （y ）在邻域性和

得

即

的值决定, 而在

证明函数列

在（a , b）

在[a, b]上可积, 从而

在[a, b]

x 0连续. 由x 0的任意性知, g （x ）在D 上连续.

二、解答题

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