2017年大连海洋大学生物学601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】若
, 证明:
服从贝塔分布, 并指出其参数.
, 则X 的密度函数为
由
在
上是严格单调增函数, 其反函数
为
Z 的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
2． 设0 【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由 ，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ） 3． 设 是来自 的样本，考虑如下假设检验问题 确定. ，n 最小应取多少？ 独立，由此得 即 若检验由拒绝域为 （1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明：当 时， 【答案】（1）由定义知，犯第一类错误的概率为 这是因为在成立下， 而犯第二类错误的概率为 这是因为在成立下. . （2）若使犯第二类错误的概率满足 即 ，或 ，查表得： 由此给出 因而凡 最小应取34, 才能使检验犯第二类错误的概率 （3）在样本量为n 时，检验犯第一类错误的概率为 当 时. ，即 检验犯第二类错误的概率为 当 时， 即 才可实现，这一结论在一般场 注：从这个例子可以看出，要使得与都趋于0, 必须行的，故一般情况下人们不应要求与同时很小. 4． 设X 为非负随机变量，a>0.若 【答案】因为当a>0时， 存在，证明：对任意的x>0，有 是非负不减函数，所以由上题即可得结论. 合仍成立，即要使得与同时很小，必须样本量n 很大. 由于样本量n 很大在实际中常常是不可 5． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明 ： 【答案】 6． 设随机变量序列数, 并求出c. 【答案】因为 , 且 所以由切比雪夫不等式得, 任对 有 独立同分布, 且 令 , 试证明: 其中（3为常 即即 再由本节第3题知 7． （格涅坚科大数定律）设 是随机变量序列, 若记 则服从大数定律的充要条件是 【答案】先证充分性. 任对注意到t>0时. 是增函数, 故当 时, 有 因此有 所以当再证必要性. 设有 因为函数 时, 有 服从大数定律, 即 是增函数及 故则任对 服从大数定律. 存在N , 当, 得 由于的任意性, 所以 8． 设 是来自二点分布b （1, p ）的一个样本， 时, （1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是 的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为 由此可见（2） 是的无偏估计. 是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为 由此可见 （3）反证法，倘若 是p （1-p ）的一个无偏估计. 是1/p的无偏估计，则有
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