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一、分析计算题

1． 设A 为n 阶半正定阵，B 为n 阶正定阵，证明：

且等成立当且仅当A=0.

【答案】由假设知A+B正定阵，（A+B）-B 半正定，B 正定，由第413题有

正定，有存在可逆阵P ，使

其中

设C 的n 个特征值为C+E的n 个特征值为

其中

由C 半正定，因此至少有一个

由②有

2． 设

⑴求（2）求【答案】⑴

且

是

中第i 行j 列元素

的代数余子式.

不妨设

那么

（2）

3． 问：何时n 阶方阵A 的若尔当标准形与有理标准形相同？

【答案】此两个标准形相同的充要条件是，存在正整数m 使设

即A 的特征根全为0. 于是

的不变因子只能是

从而次数大于零的不变因子和初等因子为

因此，A 的属亍的若尔当块和伴侣矩阵

即A 的特征根全为零.

相同，都是

由此知A 的若尔当标准形与有理标准形相同. 反之，设A 的这两个标准形相同，即

则

即

故

4． 证明：如果

【答案】因此有

由此得即

5． 设V , W是数域F 上有限维向量空间.f :和象，即

证明：【答案】设

那么

下证则从而此即由于

线性无关，因此有

即A 的特征根全为0. 若

那么

其中

为A 的最小多项式，则

是不等于1的两个3次单位根. 由题设有

是一个线性映射，令Kerf 和Imf 分别表示的核

并取它的一组基

再扩大为V 的一组基.

其中

线性无关，令

此即有从而有

即证线性无关. 移项后有

线性无关，且满足

6． 已知3阶矩阵A 与3维向量x , 使得向量x , Ax

,

（1）记（2）计算行列式【答案】（1）由

. 求3阶矩阵B , 使

可得AP=PB，且

令

则有

移项得

由已知，

线性无关，可得

所求三阶矩阵，（2）

7． 设V 表示数域P 上2级矩阵全体所构成的线性空间，定义V 的一个变换如下：

（1）证明：是线性变换；（2）求在基

下的矩阵；

（3）求的值域A V ，给出它的维数及一组基； （4）求的核N , 给出N 的维数及一组基. 【答案】（1）令

则