2017年东北大学分析、代数和数值分析之高等代数考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设V 是数域K 上全体
阶方阵作成的集合，问：V 对以下运算是否作成线性空间？
是用K 乘A 的主对角线上所有元素（别的元
及
不作成线性空间：因为加法如常，故若作成线性空间，则其零向量必为零方阵，且由
知，当
矛盾.
2． 设A 为要证明
则
且纯虚数成对出现，设为
事实上：由
是实反对称矩阵，则其特征值为0和纯虚数，这里
于是
3．
【答案】
试确定P 的值，使
有重根，并求其根. 则
的特征值为
故
正定实对称矩阵，S 为
实反对称矩阵，试证：行列式
由
只知，必
①数与矩阵乘法如常，但矩阵加法规定为：②矩阵加法如常，但数与矩阵乘法规定为：素不动）.
【答案】有
不作成K 上线性空间：因为若V 作成线性空间，则由
即为零方阵，但是对V 中任意方阵A 却有
【答案】由A 是正定矩阵，存在实可逆矩阵P ，使
（1）当所以（2）若
时，有
的三重因式，即则继续辗转相除，即
这时
的三个根为-2, -2, -2.
当p=-5时，有故
. 即x-1是的二重因式，再用
得商式
这时
4． 计算
' 的三个根为1, 1, -8. 其中
【答案】因为
则
故
这里
5． 设角阵.
方阵A ，B 皆为实对称阵，且A 为正定阵，则有实可逆阵C 使
使
这时
及
同时为对
使
【答案】由于A 正定，有实可逆阵
为对角阵
对角阵.
正交，于是
仍为实对称，则有正交阵
令
则
及
同时为
6． 设是线性空间V 的子空间，证明：
【答案】 ①任取令则因此，反之，任取于是从而
②在（3）式中，把再将此等式中
令
故
则
从而
故
于是又有
故（3）成立•
得
互换，即得（4）.
7． 设A 为m ×n 矩阵，X 为nXm 未知矩阵. 证明：矩阵方程AXA=A必有解.
【答案】设r （A ）=r.若r=0，则结论显然成立. 下设于是存在m 阶与n 阶满秩方阵P ，Q 使
现在令
则
I
即X=G是方程AXA=A的解•
8． 若n 阶方阵A 与B 只是第j 列不同，试证
【答案】设
则