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一、证明题

1． 任意两事件之并

可表示为两个互不相容事件之并，譬如

【答案】⑴

（2）利用加法公式可得

2． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则

【答案】记这正是二项分布

3．

设总体

【答案】令

，则

对上式求导易知，当

4． 令【答案】

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（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明

且X 与Y

因为

的特征函数，由唯一性定理知

是样本

，的矩估计和最大似然估计都是

它也是的相

所以由X 与Y 的独立性得

合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.

时上式达到最小，最小值为

的随机变量，试证明:

，它小于的均方误差.

表示服从二项分布

5． 设总体为如下离散型分布

表

是来自该总体的样本.

（1）证明次序统计量（2）以表示【答案】（1）给定但必有

中等于

是充分统计量； 的个数，证明的取值

于是，对任一组并

设满足

是充分统计量.

中有个中有个

可以为0,

有

该条件分布不依赖于未知参数，因而次序统计量（2）反之，给出这只要通过令

即可实现（这里默认

），因此，

是充分统计量.

且X

的特征函数，由唯一性定理知

分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量，证明极差

其中

与

分别为总体的分布函数与密度函数.

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是充分统计量.

就可算得

与是一一对应的，因为给出

也可构造出

，

6． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立，则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布

7． （1）设分布函数

和

的

（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布【答案】（1）

与

的联合密度函数为

时，样本极差的分布函数.

做变换于是

与

其逆变换为

的联合密度为

雅可比行列式绝对值为

由此可以算得

的边际密度为

的分布函数为

（2）对于指数分布

由（1）中结果，有

8． 设为

【答案】由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本

均

，

此可作为枢轴量，对给定

利用标准正态分布的

分位数

括号里的事件等价于

. 因而得

其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式

故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为则有

，

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是来自泊松分布的样本，证明:当样本量n 较大时，的近似置信区间

，因而

可得

和，