2018年兰州交通大学环境与市政工程学院314数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 一射手进行射击, 击中目标的概率为
（1）X 和Y 的联合分布律; 【答案】由题意, 令则X 和Y 的联合分布为
（2）x 的边缘分布为
表示“第
, 射击到击中两次为止, 设以X 表示首次击中
（2）条件分布律. 次和第j 次击中目标”, 那么
目标所进行的射击次数, 以Y 表示总共进行的射击次数, 试求:
Y 的边缘分布为
当
时
当
时
.
2． 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，试求P （X=Y）.
【答案】
3． 设相互独立，且试求中
（1）至少出现一个的概率； （2）恰好出现一个的概率； （3）最多出现一个的概率. 【答案】⑴（2）
（3）P （最多出现一个）=P（恰好出现一个）+P（都不出现）=:
.
，
4． 某批产品含有N 件，其中M 件为不合格品，现从中随机抽取n 件中有X 件不合格品，则X 服从超几何分布，即
假如N 与n 已知，寻求该批产品中不合格品数M 的最大似然估计. 【答案】记未知参数M 的似然函数为
. 考察似然比
要使似然比化简此式可得这表明:当
为整数和
，必导致
，
时，似然函数
是M 的增函数，即
类似地，要使似然比这表明，当比较而当其中
式和
为整数且
式可知，当
时，似然函数
，必导致
是M 的减函数，即
为整数时，M 的最大似然估计为
，
，
不为整数时，M 的最大似然估计为
为不超过a 的最大整数. 综合上述，M 的最大似然估计为
譬如，在N=19，n=5，x=2场合，由于几个
如下表所示:
表1
，
，
为整数，故M 的最大似然估计为7或8. 下面以实际计算加以佐证，
可见M 取7或8可使似然函数达到最大. 又如，在N=16，n=5，x=2场合，这时M 的最大似然估计
表
2
可见M 取6可使似然函数达到最大.
5． 某种配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目分别是10, 53, 46. 按照某种遗传模型其频率之比应为
，问数据与模型是否相符？
【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体可分为三类.
若记三类出现的概率分别为
则要检验的假设为
r
此处.
用最大似然法估计P. 其似然函数为
再微分法可得于是从而
查表知因此不能拒绝
，故拒绝域为
观察结果
不落在拒绝域，
，即可以认为数据与模型是相符的. 此处的P 值为
，
，
„由于含有一个未知参数P , 需要将之估计出来，
，实际计算如下表
（不为整数），
6． 把一颗骰子独立地掷n 次，求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及相关系数.
【答案】记
则1点出现的次数从而有
6点出现的次数
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