2018年兰州交通大学环境与市政工程学院601数学—之概率论与数理统计概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:对任意常数c , d , 有
）
【答案】
由
得
因而结论成立.
2． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（2）以表示【答案】（1）给定但必有
中等于
是充分统计量； 的个数，证明的取值
于是，对任一组并
设满足
是充分统计量.
中有个中有个
可以为0,
有
该条件分布不依赖于未知参数，因而次序统计量（2）反之，给出这只要通过令
即可实现（这里默认
3． 设
证明【答案】
），因此，诸
是充分统计量. 的联合密度函数为
注意到
是已知常数，令
取
由因子分解定理，
4． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,
有
【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有
5． 设事件A ，B ，C 的概率都是
【答案】因为
是充分统计量.
就可算得
与是一一对应的，因为给出
也可构造出
，
是充分统计量. 是已知常数，
独立，
是的充分统计量.
.
，且
，证明:
上式移项即得结论.
6． 设
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
的估计中，
，故
最优.
，
都是的无偏估计；
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
故有
又
从而
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
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