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一、证明题

1． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布

试证明:【答案】设

相互独立. 则

所以

. 由此得

和

的联合密度为

所以

可分离变量，即U 与V 相互独立.

2． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令

证明:【答案】

服从大数定律.

为同分布随机变量序列，其共同分布为

表

且

从而

又当

时,

与独立，所以

又因为

于是有

即马尔可夫条件成立，故

服从大数定律.

3． 设存在，且N 与

为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:

【答案】因为

所以

4． 证明:容量为2的样本

【答案】

5． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且

有

存在，证明:对任意的

，

的方差为

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.

6． 令【答案】

表示服从二项分布的随机变量，试证明:

7． 设随机变量X 服从为x 的指数分布，证明:

【答案】因为令

W

的逆变换为

上的均匀分布，在服从参数为1的指数分布.

所以

此变换的雅可比行列式为

所以由此得

的联合密度函数为

的边际密度函数为

这表明:

服从参数为1的指数分布.

8． 对任意的事件A , B ，C , 证明:

（1）（2）【答案】⑴

（2）因为

所以

9

.

的条件下，随机变量Y 的条件分布是参数

二、计算题

9． 下面是亚洲十个国家1996年的每1000个新生儿中的死亡数（按从小到大的次序排列）:

日本 以色列 韩国 斯里兰卡 中国 叙利亚 伊朗 印度 4 6 9 15 23 31 36 65 孟加拉国 巴基斯坦 77 88

以M 表示1996年1000个新生儿中的死亡数的中位数， 试检验:【答案】作差.

. 求检验的p 值，并写出结论.

，发现正数的个数为

，从而检验的p 值为

p 值大于0.05, 不拒绝原假设，即可认为中位数不低于34.