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一、证明题

1． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立，则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布

2． 设随机向量

令

证明:

两两不相关的充要条件为

则

同理可得

由此得必要性:若由此得

3． 设随机变量与

（1）（2）

【答案】（1）设所以当即所以当

时，

又设时，和

则

的密度函数为则

的密度函数为

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且X

的特征函数，由唯一性定理知间的相关系数分别为

且

【答案】充分性:若

两两不相关.

两两不相关，则由上面的推导可知

相互独立，且都服从上的均匀分布，试证明:

是相互独立的标准正态随机变量.

即（2）因为所以

所以由此得

所以

的联合密度函数为

这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.

4． 设随机变量X 取值

【答案】

5． 设

即它不是有效估计.

【答案】设

是0的任一无偏估计，则

»

即

将

式两端对求导，并注意到

，有

这说明我们将

，即

.

式的两端再对求导，得

由此可以得到，记

则

9

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又因为

的概率分别是. 证明

:

，求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，

.

从而，进一步，

6． 设存在，且N 与

为的UMVUE.

，C-R 下界为.

故此UMVUE 的方差达不到C-R 不等式的下界.

为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:

【答案】因为

所以

7． 设二维随机变量

服从二元正态分布，其均值向量为零向量，协方差阵为

是来自该总体的样本，

证明:二维统计量

【答案】该二元正态分布的密度函数为

此处，

故

从而

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是该二元正态分布族的充分统计量.