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一、证明题

1． 给定两正数与

证明:【答案】由又因为因此

,

于是

2． 证明:对任何

（1）（2）

并说明等号何时成立. 【答案】（1）由三角不等式当且仅当（2）

当且仅当

时, 等号成立.

的某邻域U （P ）内的偏导函数与有界, 则f 在U （P ）

存在M>0, 使

其中

所以对任意的正数, 存在

故f 在U （P ）内连续.

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作出其等差中项

皆存在且相等.

可知

与等比中项

因而

一般的令

所以

为单调递减,

即有

为单调递增. 并且

对

皆存在且根等.

即

都是有界的. 根据两边取极限,

得

单调有界定理

知的极限都存在.

设

可知,

时, 等号成立.

3． 证明:若二元函数f 在点上连续.

【答案】由内成立, 由于

在U （P ）内有界, 设此邻域为在1

当时, 有

4． 设

b]上绝对且一致收敛.

【答案】因为又由

收敛, 即

与

是[a, b]上的单调函数, 证明:若

与都绝对收敛, 则在[a,

是[a, b]上的单调函数, 故对任意

均绝对收敛, 得

收敛, 从而

在[a, b]上一致

在[a, b]上绝对且一致收敛.

二、解答题

5． 设

（1）求f 的傅里叶级数展开式; （2）讨论f 的傅里叶级数在【答案】（1）由于f 在

上是否收敛于f , 是否一致收敛于f? 上为奇函数, 故

所以f 的傅里叶级数展开式为

（2）因为f 在

上除x=0外都连续, 故当

又当x=0时, 级数收敛于

当

时, 级数收敛于

由此可见, f 的傅里叶级数在由于f 在

连续性相矛盾, 故f 的傅里叶级数在 6． 应用

【答案】设

求

上收敛于f.

上一致收敛于f , 这就与f 的不

上不一致收敛于f.

_上不连续, 由连续性定理, 若级数在

, 且

时, 有

在任何[c, d] （c ＞o ）内一致收敛

.

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所以

则

7． 计算积分

【答案】内层积分积不出来, 不妨换一求积次序. 为此由所给积分限画出积分区域D 的图形（见图）:

图

于是

8． 求空间一点

到平面下的最小值问题.

由几何学知, 空间定点到平面的最短距离存在.

设

令

由①, ②, ③得

代入④解得

所以

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的最短距离.

在条

件

【答案】由题意, 相当于

求