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一、证明题

1． 证明级数

【答案】由微分中值定理, 有

从而

又

所以级数

2． 设函数f （x ）在

求证:在【答案】令

收敛, 并且其和小于1.

上连续, 且

内至少存在两个不同的点

, 则有

, 使

又因为

所以存在sinx 恒为负,

都与

于是F （x ）在则存在

矛盾. 又当, 使得

时,

, 故, 即

上有三个不同零点, 再用罗尔定理, , 使得

. 因若不然, 则在

内或F （x ）sinx 恒为正, 或F （x ）

收敛, 并且其和小于1.

3． 证明下列结论:

（1）设函数列对收敛, 则

（2）设散, 则

在[a, b]上非一致收敛. 【答案】（1）由已知令单调, 所以

由M 判别法知级数（2）假设及

由于

有

都在[a, b]上连续, 令

对上式取极限得

对任意正整数p 都成立, 由柯西收敛准则知收敛. 4． 设

证明:【答案】因

即可.

设即所以故

5． 设

而

不可能在D 内部取得极值, 是无界数列, 又因为

是无穷大数列. 证明:

的最大值和最小值只能在D 的边界上取得.

必为无界数列.

存在自然数N ,

当因此

即

时,

有是无

有

. 对D 内任何点（x , y ）, 由于故

在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数, 有的最大值、最小值只能在区域的边界上取得. 在界闭区域D 上连续, 故由连续函数的最值性知

在D 上一定可取得

处

在D 的内部不能取得极值, 这里只需证明在D 内任何点

收敛, 矛盾. 故

在[a, b]上非一致

和,

则由

.

在[a, b]上绝对收敛且一致收敛.

在[a, b]上一致收敛, 则

, 存在正整数N , 当n>N时, 对任意正整数p

都收敛.

知

收敛.

由

在[a, b]上

中的每一项

都是[a, b]上的单调函数. 若

和

都绝

在[a, b]上绝对收敛且一致收敛;

都在[a, b]上连续, 级数

在[a, b]上处处收敛, 而在x=b处发

最大值和最小值, 下证

【答案】

因为是无穷大数列,

所以对任意大正数是无界数列, 所以总存在

界数列.

二、解答题

6． 若一元函数

在[a, b]上连续, 令

试讨论f 在D 上是否连续？是否一致连续？ 【答案】先讨论f 在D 上的连续性.

任取

且因此当

于是f （x , y

）在点由于

因为时, 有

且

时,

处连续, 因而f 在D 上连续.

下面讨论f 在D 上的一致连续性:

在[a, b]上连续, 从而一致连续.

存在

使当

且

因此, 当

故f 在D 上一致连续. 7． 设

是可微函数, 求

其中

【答案】将已知等式两边对x 求导得

将

代入, 可解得

再将

代入, 得

8． 设函数

（m 为正整数）, 试问:

时, 有

且

从而

时, 有

于是对任给的

在[a, b]上连续,

从而

对x 0连续,

对任给的

存在

使当

（1） m 等于何值时, f 在x=0连续； （2） m 等于何值时, f 在x=0可导. 【答案】（1）当（2）当

时, , 故当m 为正整数时, f 在x=0连续. , 当

, 即m>1时, 时, f 在

可导.

;

时, 不存在, 故当正整数