2017年大连理工大学概率与统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 某种产品由20个相同部件连接而成, 每个部件的长度是均值为2mm 、标准差为0.02mm 的随机变量. 假如这20个部件的长度相互独立同分布, 且规定产品总长为（求该产品的不合格品率.
【答案】
记
为第i 个部件的长度,
则
, 可用林德伯格-莱维中心极限定理近似算得合格品率
所以不合格品率为0.0254.
2． 设随机变量X 的密度函数为
试求
的数学期望.
为总长度,
且）mm 时为合格品,
【答案】
3． 设
【答案】
，试求
4． 下面是亚洲十个国家1996年的每1000个新生儿中的死亡数（按从小到大的次序排列）：
日本 以色列 韩国 斯里兰卡 中国 叙利亚 伊朗 印度 盂加拉国 巴基斯坦 4 6 9 15 23 31 36 65 77 88
. 求以M 表示1996年1000个新生儿中的死亡数的中位数，试检验：检验的p 值，并写出结论.
【答案】作差
发现正数的个数为
. 从而检验的p 值为
p 值大于0.05，不拒绝原假设，即可认为中位数不低于34.
5． 甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军. 而每次比赛双方取胜的概率都是1/2，现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率.
，事件【答案】记事件A ，B ，C 分别为“甲、乙、丙获冠军”乙、丙获胜”. 则
因为甲、乙两人所处地位是对称的，所以P （B ）=P（A ）=5/14. 由此又可得P （C ）=1-P（A ）-P （B ）=4/14=2/7.
即甲得冠军的概率5/14，乙得冠军的概率5/14，丙得冠军的概率2/7.
6． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求（1）边际密度函数【答案】（1）因为当0 所以X 与Y 不独立. 服从正态分布 . 记为 7 独立重复地对某物体的长度a 进行n 次测量, 设各次测量结果． 测量多少次？ 【答案】因为 再用林德伯格-莱维中心极限定理可得 或 分别为“第i 局中甲、 ；（2）X 与Y 是否独立？ ’这是贝塔分布 n 次测量结果的算术平均值, 为保证有95%的把握使平均值与实际值a 的差异小于0.1, 问至少需要 , 所以根据题意可列如下不等式 由此查表得的差异小于0.1. 8． 总体的长度不大于k. , 从中解得, 取n=16即可以95%的把握使平均值与实际值a ，已知，问样本容量n 取多大时才能保证的置信水平为95%的置信区间 【答案】由已知条件得的0.95置信区间为 其区间长度为置信区间的长度不大于k. 若使 即样本容量n 至少取 只需 由于 ， 故 时，才能保证的置信水平为95%的 二、证明题 9． 设随机变量 独立同分布, 且 试用特征函数的方法证明: 【答案】因 为 , 这正是伽玛分布 10．设P （A ）>0，试证： 【答案】因为 所以 11．设随机变量X 与V 相互独立, 且证: 相互独立, 且 【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为 下求（U , V ）的联合密度函数, 因为可比行列式为 的反函数为 , 且变换的雅 试 , 所以由 诸 的相互独立性 得 特征函数为 的特征函数, 由唯一性定理知
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