2017年黑龙江中医药大学高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设有一个由电阻R=10Ω、电感L=2H（亨）和电源电压E=20sin 5tV （伏）串联组成的电路. 开关K 合上后，电路中有电流通过. 求电流i 与时间t 的函数关系.
【答案】依题意，有
，即
其中，记
，则
故
于是
代入初始条件t=0, i=0, 得C=1, 故电流i 与时间t 的关系为
按波动学的习惯，可写成
2． 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
【答案】（1
）将原方程写成此得离变量，得
代入初始条件：
积分得
两边平方，得
，两端乘以
得
，
得
故有
即
由分
代入初始条件：x=1, y=1，得C=±1，
于是有由于在点x=1处，y=1, 故在x=1的某邻域内y>0,
因而特解可表示为
（2）令入初始条
件
代入初始条件
（3）因
则
，原方程化为
得
从而
有
得
，故所求特解为故积分得
分离变量即
即
积分得
代
又积分
得
并由初始条件x=1,
又因x=1时，故积分得
又因x=1时，y=0, 故再积分得
（4
）在原方程两端同乘以
入初始条件：
得
代入初始条件：x=0, y=0,
得
（5）在原方程两端同乘以入初始条件
分
得
代入初始条件：（6
）令
则
得
得从而有
得
于是得特解
分离变量，
得即
积分
由初始条
又分离变量，
得
得
即并由于
，
故取
积分得
代
分离变量后积
得
得
从而有
于是得特
解
即
即
积分得
分离变量后积分
代即
原方程变为
得
件：y=0, p=0, 积
分
由初始条件
：
，即或写成
3． 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解
（l ）（2）（3）（4）
【答案】（l ）由（2）由于是解。
（3）由进而得于是
故（4）由
于是
=0 故 4． 设
【答案】由于
，
为可微函数，求，令
。
是所给微分方程的解。
不是所给微分方程的解。
，得
，进而得
，得
，
。
，得，得
，
，故，进而得，
故
是所给微分方程的解。
，
是所给微分方程的
，则将其代入原式得
则
则
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