2017年大连理工大学综合考试之高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 函数
【答案】
因为所以
又因为
在
在
，
总有内无界。 ，总有
，使
，从而
，所
内是否有界？这个函数是否为
，
使
，
从而
时的无穷大? 为什么？
，
以不是当时的无穷大。
2． 用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比。
【答案】因 3． 设二阶导数且
（1）
；（2）
是由方程。
。
，两边同时微分得
又
，则
故
4． 设函数f （x ）在区间[a, b]上连续，且f （x ）≥0，那么
【答案】
在几何上表示什么？ 。
所确定的函数，其中
具有
与P 成正比，与T 成反比，若比例系数为k ，则有
2
。
【答案】（1）由方程
（2）由（1）可得，
表示xOy 面上，由曲线y=f（x ）, x=a, x=b以及x 轴所围成的图形绕x
轴旋转一周而得到的旋转体的体积。
二、计算题
5． 讨论方程
【答案】取函数令当当从而即当实根。
当
（其中a>0）有几个实根?
,
, 因此函数, 因此函数
, 在在
内单调增加;
内单调减少。 , 故当
, 得驻点时, 时, 为最大值, 又时, 曲线
, 即
与x 轴仅有一个交点, 这时, 原方程有惟一实根。 时, 曲线
与x 轴有两个交点, 这时, 原方程有两个
,
即时,
曲线与z 轴没有交点, 这时, 原方程没有实
根。
6． 利用定积分定义计算下列积分
【答案】由于被积函数在积分区间上连续, 因此把积分区间分成n 等份, 并取端点, 得到
（1）
（2）
7． 判断下列反常积分的收敛性：
（1）
为小区间的右
（2）（3）（4）
【答案】（1）x=0为被积函数敛，又由于
，而
的瑕点，而
收敛，故
的瑕点，而
收敛，因
，因此
收敛。 因此
收敛，故
收
x=2为被积函数（2）收敛，又由于
（3）
又由于收敛，因此
，而收敛。
，因此
收敛。
收敛。故收敛，即绝对
（4）x=0，x=1，x=2为被积函
数
，，因此
8． 设函数f （x ，y ）满足t ）的光滑曲线，计算曲线积分
【答案】因为
，所以 故
的瑕
点
收敛，又由于
收敛，故
收敛。
，
且f （0，y ）=y+1，是从点（0, 0）到点（1，
并求
的最小值.
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