2017年大连理工大学综合考试之高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 求下列伯努利方程的通解
【答案】（1）将原方程改写成且原方程化为
其中故即
为所求通解。
并
令
故原方程的通解为
或写成
（3）将原方程改写成
，并令
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，并令
（2）将原方程改写
成
则且原方程化
为
则
于是原方程化为
即为所求通解。
并令
则
（4）将原方程改写成且原方程化为
故原方程的通解为（5）原方程可写成且原方程化为
即
令z=y, 则
-2
故原方程通解为
或写成
2． 函数
【答案】
因为所以
又因为
在
在
，
总有内无界。 ，总有
，使
，从而
，所
内是否有界？这个函数是否为
，
使
，
从而
时的无穷大? 为什么？
，
以不是当时的无穷大。
3． 设有连结点O （0，0）和A （1, 1）的一段向上凸的曲线弧曲线弧
与直线段
所围成图形的面积为x ，求曲线弧
2
, 对于，上任一点P （x , y ）
的方程。
【答案】设曲线弧的方程为y=y（x ）
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依题意，有
上式两端对x 求导
，
，则微分方程成为
。
，
即得微分方程
，积分得
，因
，故有
，
令
，
有
。
，故1=C。于是得曲线弧的方程又因曲线过点A （1, 1）
4． 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解
（l ）（2）（3）（4）
【答案】（l ）由（2）由于是解。
（3）由进而得于是
故（4）由
于是
不是所给微分方程的解。
，得
，进而得
，得
，
。
，得，得
，
，故，进而得，
故
是所给微分方程的解。
，
是所给微分方程的
=0 故
是所给微分方程的解。
二、计算题
5． 设
【答案】令
，其中f 具有二阶导数，求
，则
。记
。
，
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