2017年武汉科技大学管理学院831概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设总体X 的分布函数F （x ）是连续的,
试证:
（1）（2）
（3）和的协方差矩阵为
其中
成立.
且是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量:
为取自此总体的次序统计量,
设
【答案】（1）由分布函数F （x ）的单调性可知, （0, 1）总体的次序统计量；
（2）是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量, 所以, 故
（3）和的联合分布函数为:
又由分布函数F （x ）的连续性可知, F （X ）服从均匀分布U （0, 1）, 故而^是来自均匀分布U
则
所以,
结合（2）可知, 和的协方差矩阵为:
2． 设总体μ，则
即
将（*）式两端对H 求导，并注意到
有
这说明为证明
即
于是
从而
的UMVUE.
的UMVUE. 【答案】大家知道：
分别是
的无偏估计，设
是0的任一无偏估计，
为样本，证明，
分别为
的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
这表明这就证明了
由此可得到的UMVUE.
因而
3． 设随机向量（X , Y ）满足
证明:【答案】由所以
4． 设随机变量X 与V 相互独立, 且证:
相互独立, 且
【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为
下求（U , V ）的联合密度函数, 因为可比行列式为
所以, 当
时, 有
可
见
5． 设
则
可分离变量, 故
为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.
的方差一致有界, 即存在常数c 使得
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
6． 任意两事件之并
服从大数定律.
U
与
V
相互独立, 其
中
的反函数为
, 且变换的雅
试
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得