当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设f （x ）在[a, b]上连续. 证明函数扩大而不减, 因而M （x ）是单调递增函数.

对当一方面, 即从而即

'

再证M （x ）在点当又当由此可知当所以当故

时,

有

时, 有时, 有

.

连续. 由

的任意性知M （x ）在[a, b]上连续.

为

,

其中【答案】因

故原公式成立.

为曲面S 的外法线方向余弦.

综上所述, M （x ）在点

右连续.

,

. 又MU ）是单调递增的,

时, 有（否则, 若

, 左连续）. 于是当

. , 先证M （x ）在点时有

左连续. 对于是当

另一方面, 设f （x ）在

则当时有

, 因为f （X ）在点

时, 有

上的最大值点为

时有

连续, 所以

. ,

, ,

在[a, b]上连续.

【答案】由闭区间上连续函数的有界性知M （x ）在[a, b]上处处有定义, 又上确界随取值区间

2． 证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积

3． 设是集合E 的全体聚点所成的点集

,

【答案】因为

是

的一个聚点, 所以

是的一个聚点. 试证:

自

设

又因为

是集合E 的全体聚点所成的点集, 因此是E 的一个聚点. 所以

又因为

, 因此.

即是E 的一个聚点,

所以

4． 设二元函数f （x , y ）在正方形区域[0, 1]X[0, 1]上连续. 记J=[0, 1].

（1）试比较【答案】 （1

）

由y 的任意性可知（2）若显然

，

使

下面证明上面条件为充分条件，

在[0, 1]上连续,

，使

故

5． 设f （x

）在

内可微, 且满足不等式

证明:存在一点

, 使得

【答案】由已知的不等式,

. 令

则

由推广的罗尔定理

, 使得

即

6． 设函数列

和【答案】

有

在[a, b]上可导, 且存在M>0, 使得对任意正整数n

成立. 证明:如果级数

, 取正整数m 充分大, 将[a, b]m等分:

与

，

有

的大小并证明之；

成立的（你认为最好的）充分条件.

时于任意的x 都成立，

则

（2）给出并证明使等式

在[a, b]上收敛, 则必一致收敛.

使得

因当令不妨设

收敛, 存在正整数时有

,

, 对任意正整数p 都成立, 当n>N时,

, 于是

从而

7． 设f 为

在[a, b]上一致收敛. 上的连续减函数,

; 又设

证明{an }为收敛数列. 【答案】因f （x ）为

内的连续函数, 所以

因此, 数列{an }有下界, 又因

可见{an }为递减数列, 由单调有界定理知{an }收敛.

.

二、解答题

8． 求分, 取外侧.

【答案】球面在点（x , y , z ）处的法向量为

, 由两类曲面积分的关系, 有

其中

:

作极坐标变换, 有

, 其中S 是球面的第一卦限部