2018年仲恺农业工程学院森林培育314数学(农)之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设
与
独立同分布，其共同分布为
与
试求
与
然后计算
与
的相关系数
.
2． 设随机变量X 的密度函数如下，试求
.
【答案】因为
，所以
的相关系数.
【答案】先计算
的期望、方差与协方差
.
3． 设某种商品每周的需求量X 服从区间（10, 30）上均匀分布，而商店进货数为区间（10, 30）中的某一整数，商店每销售1单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元. 为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量.
【答案】设进货量为a , 则利润为
所以平均利润为
按照题意要求有
解得
因此最少进货为21单位.
4． 设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8, 而活到15岁的概率为0.5. 问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？
【答案】记T 为此种动物的寿命，由题意知
. 所以
5． 设总体X 的密度函数为
为容量为5的取自此总体的次序统计量，试证
【答案】
先求
的联合密度为
下求
的联合密度，为此，令
其雅可比行列式的绝对值为
由
得
于是
另外，我们还可以求出边际密度，
类似可求得
显然
这就证明了
与
独立.
的联合密度. 由于总体X
的分布函数为
与
相互独立.
所以
. 又因为
6． 在长为a 的线段的中点的两边随机地各选取一点，求两点间的距离小于a/3的概率.
【答案】记X 为线段中点左边所取点到端点0的距离，Y 为线段中点右边所取点到端点a
的距离，
则
，且X 与Y 相互独立，它们的联合密度函数为
而P （x ，y ）的非零区域
与
的交集为图阴影部分，因此，所求概率为
图
7． 试问下列命题是否成立？
（1）（2）若
（3）（4）
且
（2）成立的理由是:互不相容两个集合的子集当然也互不相容，（1）（3）（4）不成立，为了说明理由，我们利用减法的一个性质:
（3）不成立是因为由（3）的左端可得（4）不成立的理由是
8． 如果
试证:
【答案】对任意的故当即对任意的
时，有
有
于是有
，则;
；
【答案】（1）不成立是因为由（1）的左端可得
来简化事件.
，
且
有