2018年仲恺农业工程学院种质资源保护与利用314数学(农)之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 和Y 相互独立, 且均服从参数为1的指数分布,
求: （1）随机变量V 的概率密度（2）
故V 的概率密度为
（2）解法1:
故U 的概率密度为
解法2:因为
2． 设
是来自帕雷托
分布
, 故
的样本（
.
. 的分布函数为
；
【答案】 （1）X 与Y 的分布函数均为
的分布函数为
已知），试给出的充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为
令
取
或
都是的充分统计量.
由因子分解定理，
3． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道:“这一城市的小学学生平均每周看8h 电视. ”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字. 为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时
间
？
【答案】由于本题中样本量较大，可认为样本均值服从正态分布，依题意，需要建立的原假设和备择假设为
若取
，则
, 拒绝域
，由样本观测值计算得:
因而拒绝原假设，认为这位校长的看法是对的.
4． 从一批产品中抽检100个，发现3个不合格，假定该产品不合格品率的先验分布为贝塔分布
，求的后验分布.
【答案】
根据不合格品率. 的共轭先验可知
，
的后验分布为n=100, x=3, 所以，的后验分布为.
5． 设为来自b （1, p ）的样本，试求假设
【答案】样本的联合概率函数为两个参数空间分别为利用微分法，在上P 的
则似然比统计量为
通过稍显复杂的求导可知，当而当
时
时，
为的严减函数
关于的图形看出），从而拒绝域
这说明此时的似然比检验与传统的关于比率P 的检验是等价的，其中临界值与由显著性水平确定.
为的严增函数，
. 这里
, 样本标准差为s=2h.问是否可以认为这位校长的看法是对
的
的似然比检验.
（对此性质，也可以画出
6． 设二维随机变量
（1）（2）
【答案】（1）因为又因为
的联合密度函数如下，试求
的协方差矩阵.
可分离变量，所以X 与Y 相互独立，由此知
所以
由此得
的协方差矩阵为
（2）利用
的对称性可得
所以
又因为
所以
由此得
的协方差矩阵为
7． 设
拒绝域取为并求该检验在【答案】在得
是来自正态总体.
的样本，考虑检验问题
，试求c 使得检验的显著性水平为0.05,
，因而由
处犯第二类错误的概率.
为真的条件下，
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