2018年仲恺农业工程学院种质资源保护与利用314数学(农)之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 某种产品由20个相同部件连接而成，每个部件的长度是均值为机变量. 假如这20个部件的长度相互独立同分布，且规定产品总长为求该产品的不合格品率.
【答案】
记
为第i 个部件的长度，
则
可用林德伯格-莱维中心极限定理近似算得合格品率
所以不合格品率为
:它们的废品率
相同，在第一、二工厂的
水平上应接收还是
2． 设有两工厂生产的同一种产品，要检验假设产品各抽取拒绝下，
总废品率为检验统计量为
，
.
，
分别表示两个工厂的废品率，则在
个及
为总长度，且标准差为
的随
时为合格品，
个，分别有废品300个及320个，问在
【答案】这里样本量很大，可采用大样本近似，以
在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0，1）, 故检验拒绝域为此处
，故
由于
，故不能拒绝原假设，此处经计算，检验的p 值近似为0.1040.
3． 假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品. 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差.
【答案】记X 为取到合格品之前，已取出的不合格品数，则X 的分布列为
表1
由此得
4． 设
，试证:
【答案】因为
9
所以
5． 设
与
独立同分布，其共同分布为
与
试求
与
然后计算
与
的相关系数
.
6． 设某班车起点站上客人数X
服从参数
的泊松分布,
每位乘客在中途下车的概率为
的相关系数.
【答案】先计算的期望、方差与协方差
.
, 且中途下车与否相互独立, 以Y 表示在中途下车的人数, 求:
（1）在发车时有n 个乘客的条件下, 中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量
的概率分布.
【答案】 （1）求在发车时有n 个乘客的条件下, 中途有m 人下车的概率,
相当于求条件概率
.
将每位乘客在中途下车看成是一次试验, 且每个人下车是独立的, 有n 个人相当于做了n 次独
立重复试验. 若将乘客下车视为试验成功, 不下车视为试验失败, 而且每次试验成功的概率都为P , 则问题（1）转化为n 重伯努利试验中m 次成功的概率. 因此条件概率服从二项分布, 即
（2）求二维随机变量因为X 服从参数故其中
.
上的均匀分布，试. ，所以（X ，Y ）的
的概率分布, 其实就是求
的泊松分布, 则
,
, 利用乘法公式, 有
7． 设二维随机变量（X ，Y ）服从区
域证:X 与Y 相互独立.
【答案】因为联合密度函数为
由此得，当由此得
8． 设
是来自.
时
；当
，即X 与Y 相互独立.
的样本，考虑如下假设检验问题
确定.
，n 最小应取多少？
时
，其中
若检验由拒绝域为
（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明:当
时，
.
【答案】 （1）由定义知，犯第一类错误的概率为
这是因为在
成立下，
，而犯第二类错误的概率为
这是因为在
成立下.
（2）若使犯第二类错误的概率满足
即查表得:
，或，由此给出
， ，
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