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一、证明题

1． 证明:若函数u=f（x , y ）满足拉普拉斯方程:

则函数【答案】令

也满足此方程.

则有

同理

由于

故有

同理

将①和②两式相加, 并把上述结果代入整理后得

2． 设

【答案】由保不等式性知

时,

于是,

故当

即当时

时, 原命题是成立的. 当

于是

第 2 页，共 36 页

①

②

证明

如果

其中为正整数. 那么, 对任给的

, 存在

使得当

时, 对任给的, 存在

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由的任意性知

3． 求证:

（1

）若（

2

）若

,,

则, 则

, 所以对任给定

, 存在m , 当n>m时

, 便有

于是, 对

;

【答案】（1

）因为有

注意到,

当m 取定时,

便是一个有限数, 再取N>m, 使得当n>N时, 有

这样, 当n>N时, 有

从而（2）因为

对

4． 设

点

应用第（1）小题结论, 即得

到集合E 的距离定义为

,

则

;

.

因而或

, 若

若

, 但

. 即X 为E 的聚, 故

, 使则由于

为开集,

由

.

由于

, 使若, 使

则

又

第 3 页，共

36 页

. 证明:

（1）若

E 是闭集

（2）若是E 连同其全体聚点所组成的集合（称为E 的闭包）. 则【答案】（1）因为

E 为闭集,

所以E 的余集

, 现

（2）一方面,

, 存在点列另一方面, 点, 因而

这说明X 为E 的聚点, 所以不论

有

即

, 即表示或. 故

都有

即

, 因而

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即

这表明

. , 即

.

综合两方面, 有

5． 用定义证明下列极限:

（1）（2）若

（3）对黎曼函数

有

【答案】（1）设x>0, 对

（当

因为

取

, 则当x>X时有

即

（2）对

,

由. , 于是有

取

（3）设限个有理数

,

使得

,

对

, 因为满足,

因而可取

的正整数q 只有有限个, 从而在[0, 1]中至多只有有

, 使得

内不含上述有限个有理数,

于是当, 从而

（当

, 1时考虑

, 则当

时, 有

, 从而有

, 故

, 则

, 当

时有

. 假设

时考虑单侧极限）.

,

则

'

时, 不论x 是有理数还是无理数, 都有

0的右去心邻域和1的左去心邻域）.

6． 证明:若在

则

.

【答案】由题设知, 当常数.

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上f 为连续函数, 且对任何a>0有

, c 为常数.

时,

特别对任何x>0.今

,

则有

f （t ）dt=常数, 于是对任何a>0有

,

, 这里c=f（1）为