当前位置：问答库＞考研试题

一、分析计算题

1． 单位负反馈系统的开环传递函数由三个惯性环节串联而成，这三个惯性环节的时间常数分别是AT , T , T/A, 其中A>0，T>0，试证明：

（1）当A=1时，使闭环系统稳定的临界放大倍数等于8, 与T 无关；

（2）当T=1且开环放大倍数为临界值时，闭环系统远离虚轴的极点为-（1+A+1/A）； （3）求一般情况下临界开环放大倍数的表达式，并证明8是临界开环放大倍数的最小值。 【答案】由题意，设系统的开环传递函数为

式中，K 为系统的开环增益。 系统的闭环传递函数为

系统的特征方程为

整理可得

（1）当A=1时，特征方程为

列写劳斯表1如下所示：

表

1

当系统稳定时，

专注考研专业课13

年，提供海量考研优质文档！

故当A=1时，使闭环系统稳定的临界放大倍数等于

8, 与T 无关。

（2）当T=1时，系统的特征方程为

列写劳斯表2

如下所示：

表2

闭环系统临界稳定时，有

劳斯表第一行将出现全零行，则

的解应为闭环系统的特征根，即

比较此时D （s ）的表达式，由韦达定理，方程的另一根为

即当T=1且开环放大倍数为临界值时，闭环系统远离虚轴的极点为-（1+A+1/A）。 （3）在一般情况下，列写系统的劳斯表3如下所示：

表3

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

系统临界稳定时

整理可得

又因为

而等号成立时

2． 设一线性定常系统的状态方程为

时

，

试求

式中

若

时，

当

故

即8是临界开环放大倍数的最小值。

时的x （t ）。

由

时，

可得

【答案】系统的状态转移矩阵为同理，由

得到

时，

可得

得