2017年兰州理工大学数字信号处理(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、综合题（计算、解答、证明）
1． 一阶IIR 系统的差分方程为
已知在无限精度情况下，这个系统是
式中
表示截尾量化后的结果。
的零输入极限环? 请说明理由。
（2）上述结果对于补码截尾仍然成立吗? 为什么？ 【答案】由差分方程可以得到这个系统的系统函数
因此可知
为其极点。由于在无限精度下系统是稳定的，故极点应该在单位圆内，
所以有
（1）如果信号和乘法器系数都是原码表示的，试问当有限精度实现时，
是否存在形式为稳定的。当在有限精度情况下实现时，对相乘的结果作截尾处理，因此实际的差分方程是
（1）根据原码截尾的量化特性，可知，不论x 为正或负，都有
因此有
而实际输出满足差分方程
零输入时，所以上式可以写为
这就是说，当因此不存在
时
的零输入极限环。
时
而当
时
因此上述结果不成立。
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故有
（2）根据补码截尾的量化特性，当
2． 求序列： （1）（2）
的共扼对称、共扼反对称部分。 周期共扼对称、周期共扼反对称部分。
（2）根据周期共扼对称、周期共扼反对称定义可得其周期共扼对称、周期共扼反对称部分分别为：
3． 利用窗函数（哈明窗）法设计一数字微分器，逼近如图所示的理想微分器特性，并绘出其幅频特性。
【答案】（1）根据定义其共扼对称、共扼反对称部分分别为：
图
【答案】（1）由于连续信号存在微分，而时域离散信号和数字信号的微分不存在，因而本题要求设计的数字微分器是指用数字滤波器近似实现模拟微分器，即用数字差分滤波器近似模拟微分器。下面先推导理想差分器的频率 响应函数。
设模拟微分器的输入和输出分别为x （t ）和y （t ），即
令
则
对上式两边采样（时域离散化），得到
其中
将
和
分别作为数字微分器的输入和输出序列，并用
表示数字理
想微分器的频率响应函数，则
即
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根据图所给出的理想特性可知
所以应取取群延时
所以
则逼近频率响应函数应为
设FIR 滤波器
长度为N ，一般取
加窗后得到
我们知道，微分器的幅度响应随频率增大线性上升，当频率式中第一项为0, 所以
时达到最大值，所以只有N 为偶
上
数的情况4才能满足全频带微分器的时域和频域要求。因为N 是偶数，
式就是用窗函数法设计的FIR 数字微分器的单位脉冲响应的通用表达式，
且具有奇对称特性
选定滤波器长度N 和窗函数类型，就可以直接按式得到设计结果。当然，
也可以用频率采样法和等波纹最佳逼近法设计。 本题要求的哈明窗函数：
将
式代入
式得到
的表达式：
（2）对3种不同的长度N=20, 40和41，用MATLAB 计算单位脉冲响应h （n ）和幅频特性函数，并绘图的程序
如下：
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