当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明:若的此,

（2）若在N , 使得以对一切

因此

这个数列

为递增（递减）有界数列, 则

为递增有界数列, 根据确界原理,

因为

是递增的, 所以当于是,

当

时

,

有下确界. 令时,

即

时,

又问逆命题成立否? 有上确界. 令

即, 则对任给的又因为a 是

则对任给

又因为n 是

的. 因存

【答案】（1）若存在N , 使得

为递减有界数列, 根据确界原理,

因为

是递减的, 所以当于是, 当n>N时.

的下界, 所

上界, 所以对一

切

（3）逆命题不成立, 一个收敛到确界的数列, 不一定是单调数列,

例如收敛到它的上确界1, 但不是单调数列.

2． 设f 在[a, b]上连续, 且对任何, 存在

证明:存在最小值定理知,

若m=0, 则

, 使得

上连续可知,

在

. 使得

【答案】由f （x ）在上也连续. 由连续函数的最大、

在[a, b]上有最小值. 设这个最小值为, 命题得证.

, 使得

若m>0, 由题设知存在这与m

是

3． 证明公式

【答案】

在[a, b]上的最小值矛盾. 于是m=0, 即存在

, 使得

4． 证明:若函数f 在点, 使

.

上连续, 且

内不存在使

, 使得

,

, 则当

, 则在

时,

内至少有一

（或

【答案】用反证法. 如果在

）总成立. 否则, 若存在

值定理, 存在

设当

, 使得时,

. 根据连续函数的介

可得

*

. 这与假设矛盾. . 再由f

故

5． 设f 是以

这与题

设矛盾. 故

在内至少存在一

点

使

为周期的可积函数, 证明对任何实数c , 有

【答案】令则

同理可证

6． 若函数

. 满足恒等式

z ）则称F （x , y ，为k 次齐次函数，

试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F （x ，y , z ）为k 次齐次函数的充要条件是:

并证明:

为2次齐次函数.

令

两边对t 求导得

充分性 设令

求关于t 的偏导数得

【答案】（1）必要性 由令t=l则有

由己知，得所以（2）因为

于是仅是x , y , z 的函数，记

，

令

，

因此

所以z （x ，y ）为2次齐次函数.

二、解答题

7． 设

【答案】

8． 计算第二型曲面积分

【答案】显然

因球面的外侧单位法向量为所以

9． 设f （x , y）在

【答案】由己知f （x , y ）在

上连续, 且恒取正值, 试求

上存在最小值m 与最大值M , 使

且

则原式=

其中, f （z ）为可微函数, 求Fxy （x , y ）.

及

又因