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一、计算题

1． 由某机器生产的螺栓的长度（cm

）服从正态分布

内为合格品，求螺栓不合格的概率.

【答案】记螺栓的长度为X , 则

2． 设A ，B 为任意两个事件，且

【答案】

3． 检查四批产品，其批量与不合格品率如下:

表

，则

成立.

，若规定长度在范围

试求这四批产品的总不合格品率. 【答案】这批产品的总不合格品率为

4． 9名学生到英语培训班学习，培训前后各进行了一次水平测验，成绩为:

表

（1）假设测验成绩服从正态分布，问学生的培训效果是否显著？ （2）不假定总体分布，采用符号检验方法检验学生的培训效果是否显著.

（3）采用符号秩和检验方法检验学生的培训效果是否显著. 三种检验方法结论相同吗？

【答案】 （1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，可通过对做单样本t 检验进行. 一对假设为故可算出检验统计量值为

由于

，于是检验的P 值为

p 值大于0.05, 在显著性水平0.05下不能认为学生的培训效果显著. （2）由于

正数的个数为2, 从而检验的p 值为

，这是一个

，观测

p 值大于0.05, 在显著性水平0.05下也不能认为学生的培训效果显著. （3）由于两个正的差值的秩分别为4.5和6, 故符号秩和检验统计量为单边假设检验，检验拒绝域为

，在给定

下，可知

值没有落入拒绝域，故也不能认为学生的培训效果显著，三者结果一致.

5． 独立重复地对某物体的长度a 进行n 次测量，设各次测量结果服从正态分布

为n 次测量结果的算术平均值，为保证有少需要测量多少次？

【答案】因为

再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

或

由此查表得

从中解得

取

即可以

的把握使平均值与实际值a

的差异小于

6． 某工厂每月生产10000台液晶投影机，但它的液晶片车间生产液晶片合格品率为

产多少片液晶片？

【答案】设每月至少应该生产n 片液晶片，其中合格品数记为X , 则有n , 使下述概率不等式成立

利用二项分布的正态近似，可得

查表可得

由此解得

即每月至少应该生产12655片液晶片.

记问至

的把握使平均值与实际值a 的差异小于, 所以根据题意可列如下不等式

为了以

的可能性保证出厂的液晶投影机都能装上合格的液晶片，试问该液晶片车间每月至少应该生

下求

7． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?

【答案】设共投掷n 次，记事件则

. 由

得

，两边取对数解得

，所以取n=4, 即投掷4次可以保证至少一次出现

点数为6的概率大于1/2.

8． 设随机变量X 的分布函数如下，试求E （X ）

.

为“第i 次投掷时出现点数为6”，

【答案】X 的密度函数（如图1）为

图1

所以

二、证明题

9． 设

为n 维随机变量，其协方差矩阵

存在. 证明:若

使得

【答案】由于使得另一方面，

则以概率

1在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数

意味着B 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量