2018年南京航空航天大学理学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？
【答案】设（1）若
为f （x ）在区间上的第一类间断点, 则分两种情况讨论.
内由拉格朗日中值定理有
这与
为可去间断点是矛盾的, 故F （x ）不存在.
为跳跃间断点.
成立. 而
这与
为跳跃间断点矛盾, 故原函数仍不存在.
上有任何阶导数, 记
, 且在任何有限区间内
,
,
试证
2． 设f 在
（c 为常数）. 【答案】由题意可知, 故故
3． 设
（1）证明:x=0是极小值点;
（2）说明f 在极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 【答案】（1）当（2）因为由导数的定义得
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为可去间断点.
, 在和x 之间. 而
反证法:若f （x ）在区间上有原函数F （X ）, 则在
（2）若
反证法:若f （x ）在区间上有原函数F （X ）, 则亦有
在任何有限区间内连续, 且
由
积分可得
,
其中为常数.
时, , 而, 故x=0是f （x ）的极小值点
时,
, 所以f （x ）在x=0连续. 当
取
则
于是对任意的
, 总存在
, 使得
, 所以f
（x ）在极小值点x=0
故f （
x ）在极小值点x=0处也不满足第二充分条件.
4． 求下列不定积分:
（
1）（4
）
【答案】 （1
）
（
2
）
（3）
（4）
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页
处不满足第一充分条件. 又因
（2）
（5
）
（3）
（6
）
（5
）
（6）
5． 求
.
是以
为周期的连续函数
, 故有
对
, 作变换
, 则有
*
即
对
作变换
, 类似于上面, 则有
于是有
令
, 则有
6． 设y=y（x ）是由方程
所确定的隐函数, 试求
.
【答案】欲将y 从所给的方程中解出来是非常困难的, 甚至是不可能的, 因此, 必须引入参数形
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【答案】由于被积函数