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一、证明题

1． 证明施瓦茨不等式:若f （x ）和g （x ）在[a, b]上可积, 则

【答案】

, 因为

所以

若

f x ）=0, 等式成立; 若则（即

故

2． 证明:

【答案】

由于所以上式综上可得

, .

, 上式是关于t 的二次三项式, 且非负, 于是有判别式

, . 即

3． 证明:f （x ）为区间I 上凸函数数.

【答案】

:

及

函数

, 由f （x ）的凸性知

为[0, 1]上的凸函

所以有

即

故f （x ）为I 上的凸函数.

4． 设

【答案】因为f 为有

内,

又因为

取

证明

不妨设则当

, 存在时,

故

使得当

时.

在

则由函数极限的局部保号性知

.

为[0, 1]上的凸函数

.

..

及

, 因为函数

为[0, 1]上的凸函数, 所以

时的无穷大量, 所以对任意的

二、解答题

5． 设函数f （x , y ）具有连续的n 阶偏导数, 试证:

函数

【答案】应用数学归纳法证明. 当n=l时,

且

设

成立, 则

的n 阶导数

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所以, 对一切的n ,

6． 计算下列广义积分

（1）

（2

）

（3

）【答案】（1）

（2）令

, 则

,

于是有

;

, 其中

;

（3）先求

由分部积分公式, 可得