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一、计算题

1． 二级火箭中各级的质量分别为

如果火箭的总质量完时的速度为最大，

则

并问当耗尽的时间为t , 则:

将上式分离变量并积分

燃料耗尽时，则有

因此燃料耗尽的时间为:

将代入式（1）可得:

若载荷质量为把

由①②③可得:

代入上式有

此时火箭的速度达到最大值，设此时火箭质量为

和

各级中包括的燃料质量分别为

及

.

载荷的质量为

为给定值，且燃料喷射的相对速度应满足下面的条件:

时，火箭在燃烧完的速度为最大值时的质量比

常数. 试证明要使火箭在燃烧

【答案】取火箭为研究对象，设火箭的质量为，其上作用的外力为mg ，燃料

2． 如图所示质量m=2kg的均质圆盘无初速地从高度h=1m自由下落，碰到一个固定尖角上，若圆盘半径r=20cm，距离a=8cm，设碰撞时的恢复因数k=0.8, 假设接触时没有滑动. 求碰撞后圆盘的角速度和质心的速度，以及碰撞前后机械能的损失

.

图

【答案】由动能定理求出碰撞前质心的速度:

设碰撞后质心的速度

并分别沿碰撞点切线与公法线进行分解. 碰撞前后圆盘的运动分析与

略去非碰撞力后的冲量分析如图（b ）所示.

由刚体平面运动碰撞动力学方程，有

由接触时无滑动，得运动学关系:

由恢复因数定义得

联立式①、②、③，可解得:

将

代人上式，得:

式中负号表示假设方向相反. 而碰撞后圆盘的角速度为:

又

因此，碰撞后圆盘质心的速度为:

碰撞前的动能:

碰撞后的动能:

因此，碰撞过程的能量损失为:

3． 图1所示直角三角形刚性平板OBC 和AB 杆，已知

和C 点作用力P ，在

刚性平板OBC 上还作用有一力偶M 。试求固定铰支座A 、O 处的约束反力。

图1

【答案】把AB 杆和刚性平板OBC 看做一个整体，它所受的主动力有P ，力矩有M ，杆AB 为二力杆，受力沿着杆方向。铰支座A 处有一个约束力

取整体为研究对象，受力分析如图2所示。

铰支座0处有两个约束力

图2

以水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，列平面任意力系的平衡方程，即

得

由以上方程得