2017年湖南大学信息科学与工程学院813高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 求由下列各曲线所围成的图形的面积:
（1）（2）（3）【答案】（1），因此
点为（x ，y ）
注:对于参数方程的处理方式一般可采用本题的方法，首先根据问题化为积分（其中记曲线， 对于积分根据参数方程进行换元，即可化为关于参数的积分，再进行计算. 上的点为（x ，y ））
（3）
2． 求数列
的最大项
时,
；当
时,
, 因此点, 由
及
3
3
（2）由对称性可知，所求面积为第一象限部分面积的4倍，记曲线x=acost ，y=asint 上的
【答案】取函数
=0, 得驻点x=e。令f’（x ）当
为f （x ）的极大值点。由于驻点惟一, 极大值点也是最大值点且最大值为在（e , +又
）内单调减少, 知
, 故数列
的最大项为
3． 求半径为a 、高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度的空间闭区域
）。
【答案】建立空间直角坐标系，使原点位于圆柱体的中心，z 轴平行于母线，则圆柱体所占
于是所求的转动惯量为
4． 画出积分区域，把积分
(1)(2)(3)
【答案】（1）如图2所示，在极坐标系中，有
故
表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 是：
图1 图2
（2）如图3所示，在极坐标系中，
，故
（3）D 如图4所示，在坐标系中，
直线
。于是
的方程为
，
故
图3 图4
5． 选用适当的坐标计算下列三重积分：
（1）
，其中
为柱面
及平面
所围成的在
第一卦限内的闭区域；
（2）区域；
（3）区域；
（4）确定。
【答案】（1）利用柱面坐标计算，
可表示为
，其中是由曲面及平面所围成的闭
，其中是由曲面及平面所围成的闭
，其中闭区域由不等式所
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