2017年湖南大学数学与计量经济学院813高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设函数
连续，且满足
在该方程两端对x 求导，得
即
可见若记
又在方程
则有初值问题
上述非齐次方程对应的齐次方程的特征方程为特征方程的根，故令有通解
且有代入初始条件
有
解得
x
【答案】由所给方程可得
的两端对x 求导，得
而不是
于是方程（1）
是方程（1）的特解，代入方程并消去e ，得
即于是得
2． 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性:
【答案】（1）解法一：后的级数
解法二：因（2）（3）因
而
也发散，由比较审敛法知原级数
而
由于级数发散。
发散，故各项乘
发散，故由极限形式的比较审敛法知原级数发散。
而
发散，由比较审敛法知原级数发散。 收敛，由极限形式的比较审敛法知原级数发散。
（4）因
收敛。
（5）
当
而
时
，
而收敛，故由极限形式的比较审敛法知原级数
，一般项不趋于零，
故
收敛。
发散，当a>1时
，
收敛，故由比较审敛法知
3． 求下列微分方程组满足所给初始条件的特解：
【答案】（1）记
则有
即
由③的特征方
程
得
故
故方程组的解为
（2）记
原方程组即为
解
得又由①
得
于
是代入初始条
件
代入初始条
件
得
原方程组即为
则有即
由③的特征方程
得
即
代入初始条件
解得
又由②得
得
故方程组的特解为
于是
代入初始条件
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