● 摘要
Quantale是由C.J.Mulvey在1986年研究非交换的C*-algebra时首先引入的, 其目的在于给量子力学提供新的数学模型. 由于它在环的理想理论, 非交换的C*-algebra, 线性逻辑和理论计算机科学中有广泛的应用, 受到了数学和理论计算机科学领域的许多学者的密切关注, 在这过去的二十几年中, Quantale理论的研究和应用得到了较大的发展. 由于Quantale中的理想是研究Quantale理论的一个重要工具, 本文用粗糙集理论的研究方法对Quantale的理想作了进一步研究. 正交模格和Quantale虽然具有一些相同的性质, 且是研究量子力学的两个重要的代数系统, 但它们却是不同的代数系统. 1991年Roman和Rumbus构造了一个对象类包含有Quantale的新范畴-Quantic格范畴, 并且还指出对任意的正交模格L, 令a&b=(a∨ b⊥)∧b, 则L关于这一运算构成Quantic格. 对Quantic格的理想进行研究, 不仅为了解Quantic格的结构奠定了基础, 而且也丰富和发展Quantale理论和正交模格理论的内容. 本文主要包括四个部分:
第一章 预备知识. 给出了本文将要用到的Quantale理论和模糊集理论中的基本概念和结论. 第二章 Quantale的上粗理想. 首先, 利用粗糙集的理论方法, 给出了Quantale的上近似和下近似的定义, 讨论了它们的若干性质. 其次, 给出了Quantale的上粗子Quantale, 上粗理想和上粗拟理想的概念, 讨论了它们的性质以及它们之间的关系. 证明了理想一定是上粗理想; 满足上近似集和下近似集相等的上粗理想是理想; 上粗(左, 右)理想是上粗拟理想; 满足左(右)吸收律的上粗拟理想是上粗左(右)理想. 最后, 讨论了Quantale同态与Quantale的上粗理想的联系, 证明了Quantale 的上粗子Quantale和上粗(左, 右)理想在Quantale满同态下的原象仍是上粗子Quantale和上粗(左, 右)理想. 第三章 Quantic格中的模糊理想. 首先, 给出了Quantic格的一些基本性质. 其次, 引入了Quantic格上的理想和理想余闭包算子的概念, 讨论了它们的性质和它们之间的关系, 并证明了在Quantic格中, 一个子集是理想当且仅当它是某个理想余闭包算子的像. 最后, 给出了Quantic格上的模糊理想和模糊子Quantic格的定义, 对Quantic格上的模糊理想的相关性质进行了研究.
第四章 Quantic格中的素模糊理想与模糊同余关系. 首先, 给出了Quantic格中的素模糊理想的定义, 对它的基本性质进行了讨论, 得到了Quantic格中的素模糊理想的刻画.其次,给出了Quantic格中的弱素模糊理想的定义, 讨论了素模糊理想与弱素模糊理想的关系, 并利用截集和模糊点刻画了Quantic格的弱素模糊理想. 最后,给出了Quantic格中的模糊同余关系的定义, 讨论了它的若干性质.
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