2017年江苏大学理学院601数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f (x ) 在
(1)
时，
上连续，满足：
由于f (x ) 在S 上连续，根据连续函数的性质，f (x ) 必在
和最小
值
2． 若级数
证明级数【答案】由
与
都收敛，且成立不等式
，也收敛. 若
可得满足不等式且
数，则必有
3． 设f (x ) 在
发散.
上连续，
绝对收敛，证明：
【答案】因为因为
绝对收敛，当n 足够大的时候
由于的任意性，所以命题成立.
4． 证明：若
【答案】由
又因为
数列
也有上界. 设正数
为递增数列，
为递减数列，且
则
与
都存在且相等.
f 上界，因而
与
都发散，试问
又级数
收敛，
从而
一定发散吗？ 与收敛.
若
都收敛，故正项级数
都发散
.
收敛.
如果取
收
未必发散.
如
为发散的正项级
若
记
那么
所以
使得
(2) 对任意x 和正常数c , 求证：存在S 上
的
和
【答案】考虑有界闭集
点分别取到它在S 上的最大
值
敛，
由比较原则得正项级数
均发散，
但
连续，所以当n 足够大的时候
可知，数列为递减数列，所以是
的一个上界. 由
是有界数列，设正数M , 使得对一切n ，
于是，数列
可得
综上所述，得
5． 设f 在
和都是单调有界的，所以与
都存在. 再由
上三阶可导，证明存在使得
【答案】令
则又因为
所以
在区
间
由
可得
因此
上对函
数
应用柯西中值定理可得，存
在
使
得
在
上满足柯西中值定理的条件，于是存在
使得
二、解答题
6． 求
【答案】用
之和。
表示级数的前n 项部分和，则
故
7． 求下列不定积分：
【答案】
（4）因为
所以
（5）因为
所以