2017年湘潭大学数学与计算科学学院601数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 用有限覆盖定理证明根的存在定理，即设在
使得
证明:用反证法假设【答案】不妨
设
均有
一个开覆盖.
由有限覆盖定理，存在H 中有限个互不相交的开集即
注意到k 是有限个，
所以
因此存在
2． 已知
是
上的正的连续函数，且
不等式得
从而
由于则即得
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在闭区间上连续，且则存
由
让取遍
在
上的连续性
，
，它构成了将区间
使
得的覆盖，
可得一个开集
在上每一点的函数值都同号，这与矛盾.
使得
求证
：
【答案】由
收敛，所以
3． 证明下列结论：
(1)
设(2)
设
在(3) 设f (x ) 在f (x ) 在
故(2) 易知
在点x=0连续，且
对上连续；
在
上连续； 在点上连续.
取
得又
在点
连续，从而
因为
在于是对
令同理由
在
(3) 由
即
对
定号，从而可知
得
对
两边取对数得
得
即
令
得因为
都成立.
由已知得上连续.
在
处连续，
在
有
即在所以于是
且上连续.
对
与
同号，
从而
处连续，由(1) 的结论知
上连续. 上单调，所以
都存在，设
. 对
当
时，由
处连续，所以
连续，
且对
满足
则
上单调，
且对
满足
则
满
足
则
在
【答案】(1) 由
利用(1) 的结论知在上连续，从而在
4． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理。
【答案】一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，所以任绐.
取
. 任意
存在则H 是
上连续，则在
有
不妨设
对任意
上一致连续. 因为在
的无限开覆盖. 由有限覆盖定理，从中可以选出有限个
开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为
取
时，由于
对任意
即当
因此
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由一致连续定义，
在
上一致连续。
二、解答题
5． 求下列极限：
；
（a 为给定实数）
【答案】
6． 等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义.
【答案】设旋转角与时间的函数关系为
则时刻t 到
而时刻t 的角速度定义为
7． 对幂级数
(1) 求收敛域；(2) 求和函数；(3) 讨论幂级数在收敛域上的一致收敛性. 【答案】(1) 由
于
的收敛域为
(2) 令
则
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内的平均角速度为
所以收敛半径为1,
又发散，
故