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一、计算题

1． 球1速度

方向与静止球2相切, 如图所示. 两球半径相同、质量相等, 不计摩擦. 碰撞

的恢复因数e=0.6.求碰撞后两球的速度

.

图

【答案】在两球碰撞时, 将球1的速度分解为沿两球心连线方向和垂直两球心连线方向则球1以速度

与球2发生正碰, 碰撞后速度变为

方向与

向上动量守恒, 设球2碰撞后速度为

恢复因数为k=0.6, 可得:

两球的半径相同, 则可知:联立以上各式可得:因为

相同, 设两球质量均为m , 可得:

,

, 速度不改变. 不计摩擦力, 则发生正碰的方

不变, 所以碰撞结束后, 球1的速度大小为:

球2速度大小为:

沿撞击点法线方向.

2． 按点的合成运动理论导出速度合成定理及加速度合成定理时，定参考系是固定不动的。如果定参考系本身也在运动（平移或转动），对这类问题你该如何求解？

【答案】先用合成运动理论求解定系的运动。

3． 点M 沿正圆锥面上的螺旋轨道向下运动。正圆锥的底半径为b ，高为h ，半顶角为角对时间的导数保持为常数。求在任意角时，加速度在柱坐标中的投影

如图所

示。螺旋线上任意点的切线与该点圆锥面的水平切线的夹角是常数，且点M 运动时，其柱坐标

图

【答案】假设在与z 轴距离为移项并积分得求二次导数得所以

4． 光滑水平地面上相隔地放有同样质料的平板A 、B ，质量同为m. 板B 上面放有一个均质圆柱，半径为R ，质量也为m. 圆柱与板B 的接触点距该板左端的距离为R. 圆柱与板之间的动摩擦因数为

. 原先系统静止不动. 今使板A 以速度求以下各个力学量:

（1）碰撞结束瞬时圆柱的角速度大小；

（2）自碰撞结束算起，经过多少时间，圆柱开始在板上作无滑动滚动？ （3）自圆柱开始作无滑动滚动算起，经过多少时间，圆柱开始与板A 接触？ （4）当圆柱与板A 开始接触时，板B 的速度大小

.

朝板B 冲去，假设发生的是完全非弹性的

碰撞，忽略滚阻力偶的影响.

时经过了无限小位移

可得

图

【答案】（1）取两板作为研究对象，应用冲量定理有

在碰撞结束瞬时，共同的速度为

圆柱在碰撞过程中，圆柱的角速度按冲量距定理应是不变的，即在板B 与圆柱之间出现滑动摩擦，以圆柱为对象，列出运动微分方程

整理并积分，得

同时，板B 受到圆柱的反作用，滑动摩擦力将使板减速，板A 将紧随板B. 因此，以两板为研究对象，列出运动微分方程

整理并积分得

考察圆柱接触点D ，其速度为

再考虑D 点相对于板的相对速度，其方向水平向左，大小为

当依题意，

时，接触点的相对速度为零.

所以

即经过

时间，圆柱开始在板上作无滑动滚动.

（3）圆柱质心C 的相对速度和相对移动距离

在开始滚动前，圆柱已经在板上移动了距离

两块板在滚动开始出现后，同作匀速直线平动，其速度大小为

圆柱作匀速滚动，其质心速度和角速度保持在时间

的值，即

原先距离板A 为R , 在滚滑过程中已经移动了即从无滑动地滚动算起，需要时间

（2）碰撞结束后，

尚缺