2017年山东大学控制科学与工程学院825线性代数与常微分方程之高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、填空题
1． 幂级数
【答案】
的收敛半径为_____。
【解析】由于
则
，故该幂级数的收敛半径为（该幂级数却奇次项）。
2． （1）函数f （x ）在[a，b]上有界是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件，而f （x ）在[a，b]上连续是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件;
（2）对常积分
，它的变上限积分上非负、连续的函数f （x ）收敛的_____条件。
一定______。
在
上有界是反
（3）绝对收敛的反常积分 3．
【答案】
_____。
【答案】（1）必要；充分（2）充分必要（3）收敛
【解析】交换积分次序，得
4． 当a=_____, b=_____时微分。
【答案】【解析】
若要使满足
则 5． 曲面
【答案】
恰为函数_____的全
恰为某函数的全微分，
则需满足，解得
则
。结合题意知，需要
。
和平面y=0的交线绕x 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为_____。
绕x 轴旋转一周所得的曲
从
到
的弧段，
则
【解析】本题可看作是在在二维坐标系xOz 中，求解曲线面方程，则所求旋转曲面方程为
6． 设
C
为上半圆
周
=_____。
【答案】
，则
【解析】补线段
7． 将
【答案】
【解析】积分域如下图所示，则
化为极坐标下的二次积分为_____。
图
8． 向量
场
_____。 【答案】2 【解析】
在
点
处的散
度
二、计算题
9． 求均匀曲面
【答案】设质心位置为在xOy 面上的投影区域
的质心的坐标。
。由对称性可知质心位于z 轴上，故
。由于
。
又的面积
，故
所求的质心为
10．在均匀的半径为R 的半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少?
【答案】设矩形另一边的长度为l 并建立如图所示的坐标系，则质心的纵标