2017年山东科技大学电气与自动化工程学院843信号与系统考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设
【答案】
具有二阶连续偏导数，求
。
2． 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大率总是6m/s，问在2s 末扰动水面面积的增大率为多少?
【答案】设最外一圈波的半径为r=r（t ）。圆的面积S=S（t ）。在S=πr 两端分别对t 求导，得
当t=2时，
代入上式得
3． 求当x →0时，
【答案】由题意知
因为
所以
的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在。
2
因为
，所以
不存在。
4． 利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性:
【答案】
由于
故
于是，当p 为奇数时，有
当p 为偶数时，有
因此，对任意给定的正数
取正整数
。当n>N时，对任何正整数p ，都有
根据柯西审敛原理知，级数收敛.
（2）当n 是3的倍数时，如果取p=3n，则必有
于是对不论N 为何正整数，当n>N并n 是3倍的时候，且当p=3n时，就有
根据柯西审敛原理知，级数发散. （3）
由此可知，对任意给定的正数ε，取正整数都有
（4）本题与（2）类同，因不论n 取什么正整数，取p=n时，就有
，当n>N时，对一切正整数p ，
按柯西审敛原理，该级数收敛。
故对
因此该级数发散.
5． 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值:
【答案】（1）积分区域D 如图1所示. 在极坐标系中，有
于是
（2）如图2所示，在极坐标系中，有