2017年延边大学理学院数学基础复试之概率论与数理统计教程考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
求条件密度函数所以当
时,
而当0 由此得 这是均匀分布 其中 【答案】因为p （x , y ）的非零区域为图的阴影部分, 图 2． 某厂使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A 生产的样品22件，测得其平均质量为2.36（kg ），样本标准差为0.57（kg ）, 取使用原料B 生产的样品24件，测得其平均质量为2.55（kg ），样本标准差为0.48（kg ），设产品质量服从正态分布，两个样本独立，问能否认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大（取 ）？ 【答案】设X 为使用原料A 生产的产品质量，Y 为使用原料B 生产的产品质量， 则 由问题的陈述，我们看到这是关于两总体均值的检验问题，且为了 能够显著地认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 大，必须将该陈述作为备择假设，只有当拒绝与之相对立的原假设时，才能说明使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大，因此，可建立如下假设检验问题 为完成此假设检验，应先对两总体的方差是否相等进行检验，若接受本t 检验；若 不成立，则可以用近似t 检验，对于检验问题 计算如下检验统计量 若取拒绝域为若取 则 贝 !J 可以使用两样 可 观测值未落入拒绝域内，由此可以认为两个总体的.... 故拒绝域为 由所给条件，计算得 方差相等，下面我们在方差相等的假定下检验上述关于均值的假设，此处可使用两样本t 检验， 由于因此在显著性水平时，应接受原假设即使用原料B 生 产的产品平均质量没有显著地超过使用原料A 生产的产品平均质量. 3． 设随机变量X 的密度函数为 试求下列随机变量的分布：【答案】（1）因为单调増函数，其反函数为 ，且的可能取值区间为（-3，3） 且 所以 在区间（-1，1）上为严格的密度函数为 （2）因为 ，且的可能取值区间为（2，4） 且 所以 在区间（-1，1）上为严格单调的密度函数为 （3）因为而当0 1）1），的可能取值区间为（0，所以在区间（0，外，的密度函数为的分布函数为 上式两边关于y 求导，得 即 减函数，其反函数为 这是贝塔分布Be （3/2，1）. 4． 设伽玛分布，即 【答案】 是来自如下总体的一个样本 ，求的后验期望估计. 与的联合分布为 于是的后验分布为 若取的先验分布为 这是一个伽玛分布因而的后验期望估计为 5． 在20世纪70年代后期人们发现，酿啤酒时，在麦芽干燥过程中会形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA ），20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥讨程，下面为老、新两种过程中形成的NDMA 含量（以10亿份中的份数计）： 表 设两样本分别来自不同的正态总体，并假定两总体方差相等，两样本独立，分别以老、新过程的总体的均值， 试检验 【答案】以x , y 分别表示老、新两种过程下的观测值，其样本方差，则中 的无偏估计为 在原假设 为两个总体的共同方差， 又 检验拒绝域为 现取 现由样本观测值可算得 从而检验统计量的值为 查表知， 从而拒绝域为 成立下有 分别为其样本均值， 分别为 其 表示 故在原假设成立 下 由于观测值落入拒绝域，故拒绝原假设，接受备择假设，即老、新方法在NDMA 含量的差大