2017年天津师范大学数学科学学院654高等数学之高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 计算球体体积时，要求精确度在2%以内. 问这时测量直径D 的相对误差不能超过多少?
【答案】由于是由
知 2． 设
【答案】
，而
3． 下列计算是否正确，试说明理由:
（1）
，求
知
，
（2）因为（3）
【答案】（1）不对，因为
，所以
；
在[-1, 1]上有间断点x=0，不符合换元法的要求，积分一定为
正，因此该积分计算不对。事实上，
（2）不对，原因与（1）相同，事实上，
（3）不对，因为发散，也就得到
发散。
，当
时极限不存在，故
4． 计算下列对面积的曲面积分：
，其中为平面
，其中为平面
，其中为球面
，其中为锥面
的部分。
【答案】（1）在上，直线
。在xOy 面上的投影区域D xy 为由x 轴、y 轴和
上上被柱面
在第一卦限中的部分；
在第一卦限中的部分；
的部分；
所截得的有限
所围成的三角形闭区域，因此
（2）在上，成的三角形闭区域。因此
。在xOy 面上的投影区域为由x 轴、y 轴和直线
所围
（3）
在
上
，
，
在
xOy
面上的投影区
域
。由于积分曲面关于yOz 面和zOx 面均对称，故有
于是
（4）如图所示，在xOy 面上的投影区域D xy 为圆域而函数xy 和yz 关于y 均为奇函数，故
。由于关于zOx 面对称，
图
于是
5． 有一闸门，它的形状和尺寸如图所示，水面超过门顶2m ，求闸门上所受的水压力。
，则p （x ）=1000gx，取x 为积分变量，则x 的变化【答案】设水深zm 的地方压强为p （x ）范围为[2, 5], 对该区间内任一小区间[x，x+dx]，压力为闸门上所受水压力为
，因此