2017年天津师范大学数学科学学院654高等数学之高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 计算下列对坐标的曲面积分：
其中是球面
其中是柱面
一卦限内的部分的前侧；
其
为连续函数，是平面
在第四卦限部分的上侧；
其中是平面
空间区域的整个边界曲面的外侧。
【答案】（1
）
在xOy 面上的投影区
域。因取下侧，故
，
在
上
，所围成的
中
的下半部分的下侧；
被平面z=0及z=3所截得的在第
（2）由于柱面，因取前侧， （图）
所以
在xOy 面上的投影为零，因此
，又
图
（3）在上，
，由于取上侧，故在任一点处的单位法向量为
由两类曲面积分之间的联系，可得
（4）在坐标面x=0, y=0和z=0上，积分值均为零，因此只需计算在侧）上的积分值（图）。下面用两种方法计算。
（取上
图
解法一：
由被积函数和积分曲面关于积分变量的对称性，可得
因此
解法二：利用两类曲面积分的联系，将分计算。由于：
和
均化为关于坐标x 和y 的曲面积
取上侧，故在任一点处的单位法向量
于是
因此
于是原式=
。
2． 求下列函数的反函数:
（l ）
。
分析函数存在反函数的前提条件为:
是单射. 本题中所给出的各函数易证均为单射，特别（1）、（4）、（5）、（6）中
的函数均为单 调函数，故都存在反函数。