2017年兰州财经大学统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设X 与Y 是独立同分布的随机变量, 且
试证:
【答案】
2． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：
【答案】由于其中
代回原式即得证.
3． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：
其中
平方和之间的关系；
（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：
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存在，所以级数绝对收敛，从而有
是适当选取的常数.
（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差
所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为
在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出
然后再据此给出
总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为
（2）由（1）的结果我们知道
数据得到的F 检验统计量的值保持不变.
4． 设0 【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由 ，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ） 5 设T 是g ，（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若． 【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE ，即 即 且 的无偏估计，故其差 由判断准则知 ，则这说明 独立，由此得 即 即说明了由原始数据和变换后 它们的关系为 是0的无偏估计， 第 3 页，共 43 页 6． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数. 【答案】记X 的特征函数为为 这表明X 与-X 有相同的特征函数, 从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的. 再证必要性, 若由于-X 的特征函数为 7． 设二维随机变量 , 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数, 所以 故 是实的偶函数. 所以得 , 即 先证充分性. 若 是实的偶函数, 则 又因 服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为 是来自该总体的样本, 证明: 二维统计量 该二元正态分布族的充分统计量. 【答案】该二元正态分布的密度函数为 此处, 故 从而 注意到 上式可化解为 于是样本的联合密度函数为 由因子分解定理知, 结论成立. 第 4 页，共 43 页 是